如圖，P是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是雙曲線的焦點(diǎn)，M是∠F1PF2的平分線上一點(diǎn)，且．某同學(xué)用以下方法研究|OM|：延長F2M交PF1于點(diǎn)N，可知△PNF2為等腰三角形，且M為F2M的中點(diǎn)，得．類似地：P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是橢圓的焦點(diǎn)，M是∠F1PF2的平分線上一點(diǎn)，且．則|OM|的取值范圍是     ．
【答案】分析：橢圓與雙曲線都是平面上到定點(diǎn)和定直線距離之比為定值的動(dòng)點(diǎn)的軌跡，故他們的研究方法、性質(zhì)都是相似之處，我們由題目中根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，探究|OM|值方法，類比橢圓的性質(zhì)，推斷出橢圓中|OM|的取值范圍．
解答：解：延長F2M交PF1于點(diǎn)N，可知△PNF2為等腰三角形，
且M為F2M的中點(diǎn)，
則=a-|F2M|
∵a-c＜|F2M|＜a
故0＜|OM|＜c=
故|OM|的取值范圍是
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年山西大學(xué)附中高三第二學(xué)期高三第一次模擬測試數(shù)學(xué)試卷 題型：填空題

．如圖，P是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1、

F2是雙曲線的焦點(diǎn)，M是的平分線上一點(diǎn)，且

某同學(xué)用以下方法研究|OM|：延長F2M交PF1于點(diǎn)N，可知為

等腰三角形，且M為F2M的中點(diǎn)，得
 
類似地：P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是橢圓的焦點(diǎn)，M是的平分線上一點(diǎn)，且.則|OM|的取值范圍是           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012年福建省四地六校高二第二次月考理科數(shù)學(xué) 題型：填空題

如圖，P是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，、是雙曲線的左右焦點(diǎn)，是的平分線上一點(diǎn)，且某同學(xué)用以下方法研究：延長交于點(diǎn)，可知為等腰三角形，且M為的中點(diǎn)，得類似地：P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，、是橢圓的左右焦點(diǎn)，M是的平分線上一點(diǎn)，且，則的取值范圍是            ．

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011年浙江省臺(tái)州市高二下學(xué)期第六次質(zhì)檢數(shù)學(xué)文卷 題型：填空題

如圖，P是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是雙曲線的焦點(diǎn)，M是的平分線上一點(diǎn)，且某同學(xué)用以下方法研究|OM|：延長交于點(diǎn)N，可知為等腰三角形，且M為的中點(diǎn)，得類似地：P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是橢圓的焦點(diǎn)，M是的平分線上一點(diǎn)，且，則|OM|的取值范圍是               ．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年福建省廈門市高三3月質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，P是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是雙曲線的焦點(diǎn)，M是∠F1PF2的平分線上一點(diǎn)，且．某同學(xué)用以下方法研究|OM|：延長F2M交PF1于點(diǎn)N，可知△PNF2為等腰三角形，且M為F2M的中點(diǎn)，得．類似地：P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是橢圓的焦點(diǎn)，M是∠F1PF2的平分線上一點(diǎn)，且．則|OM|的取值范圍是     ．

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