Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）在R內(nèi)有定義，給出下列五個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（4）（填序號(hào)）．
（1）偶函數(shù)的圖象一定與縱軸相交
（2）奇函數(shù)的圖象一定通過(guò)原點(diǎn)
（3）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f（x）=0（x∈R）
（4）若奇函數(shù)f（x）在x=0有定義，則恒有f（0）=0；
（5）若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，則有f（x）=-f（x）=f（|x|）．

Answer 1

分析 利用函數(shù)的奇偶性即可判斷出．

解答 解：（1）偶函數(shù)的圖象一定與縱軸相交，不正確，例如y=$\frac{1}{|x|}$；
（2）奇函數(shù)的圖象一定通過(guò)原點(diǎn)，不正確，例如y=$\frac{1}{x}$；
（3）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，故f（-x）=-f（x）；
函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，故f（-x）=f（x）；
所以-f（x）=f（x），即2f（x）=0，于是f（x）=0，
所以，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)f（x）是常函數(shù)f（x）=0，
但是函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的開(kāi)（閉）區(qū)間（a，-a），不一定是x∈R．即（3）不正確，
（4）∵f（x） 是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（x）+f（-x）=0，∴f（0）+f（0）=0，∴f（0）=0，正確；
（5）若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，則有f（-x）=f（x）=f（|x|），不正確．
故答案為：（4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題．