Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），（a＞0且a≠1）．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并予以證明；
（3）當(dāng)a＞0且a≠1時，求使f（x）＞0的x的解集．

Answer 1

考點：指、對數(shù)不等式的解法,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)f（x）的解析式可得

x+1＞0 1-x＞0

，由此求得函數(shù)的定義域．
（2）由于函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1），關(guān)于原點對稱，且滿足f（-x）=-f（x），可得f（x）是奇函數(shù)．
（3）分當(dāng)a＞1和當(dāng)0＜a＜1時兩種情況，分別利用函數(shù)的單調(diào)性和定義域，求得要求的不等式的解集．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），∴

x+1＞0 1-x＞0

，求得-1＜x＜1，可得函數(shù)的定義域為（-1，1）．
（2）由于函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1），關(guān)于原點對稱，且滿足f（-x）=log_a（-x+1）-log_a（1+x）=-f（x），
故f（x）是奇函數(shù)．
（3）當(dāng)a＞1時，函數(shù)f（x）log_a（x+1）-log_a（1-x）=loga

1+x

1-x

 是增函數(shù)，由f（x）＞0，可得

1+x

1-x

＞1，
即

x-2

x-1

＜0，即（x-2）（x-1）＜0，∴1＜x＜2．
當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)f（x）log_a（x+1）-log_a（1-x）=loga

1+x

1-x

 是減函數(shù)，由f（x）＞0，可得 0＜

1+x

1-x

＜1，
即

1+x 1-x ＞0 1+x 1-x ＜1

，即 

-1＜x＜1 x＜0或x＞1

，求得-1＜x＜0．

點評：本題主要考查求函數(shù)的定義域、判斷函數(shù)的奇偶性，對數(shù)不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．