Question

7．求下列各式的值：
（1）（2-1）+（2²+2）+（2³-3）+…+[2ⁿ+（-1）ⁿn]；
（2）1+2x+4x²+6x³+…+2nxⁿ．

Answer 1

分析 （1）通過分類討論，利用分組法求和即可；
（2）分x是否為1兩種情況討論，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，-1+2-3+…+（-1）ⁿn=$\frac{n-1}{2}$-n=-$\frac{n+1}{2}$，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，-1+2-3+…+（-1）ⁿn=$\frac{n}{2}$，
又∵2+2²+2³+…+2ⁿ+=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2，
記S_n=（2-1）+（2²+2）+（2³-3）+…+[2ⁿ+（-1）ⁿn]，
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n+1}-\frac{n+1}{2}-2，}&{n為奇數(shù)}\\{{2}^{n+1}+\frac{n}{2}-2，}&{n為偶數(shù)}\end{array}\right.$；
（2）記S_n=1+2x+4x²+6x³+…+2nxⁿ，
則當(dāng)x=1時(shí)，S_n=1+2+4+6+…+2n=1+2•$\frac{n（n+1）}{2}$=n²+n+1；
當(dāng)x≠1時(shí)，xS_n=x+2x²+4x³+…+2nxⁿ⁺¹，
∴（1-x）S_n=1+x+2（x²+x³+…+xⁿ）-2nxⁿ⁺¹
=1+x+2•$\frac{{x}^{2}（1-{x}^{n-1}）}{1-x}$-2nxⁿ⁺¹，
∴S_n=$\frac{1+x}{1-x}$+2•$\frac{{x}^{2}-{x}^{n+1}}{（1-x）^{2}}$-$\frac{2n{x}^{n+1}}{1-x}$；
綜上所述，S_n=$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}+n+1，}&{x=1}\\{2•\frac{{x}^{2}-{x}^{n+1}}{（1-x）^{2}}+\frac{1+x-2n{x}^{n+1}}{1-x}，}&{x≠1}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的求和，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．