解析:欲證MN⊥AB,注意到AB是平面PAB內(nèi)的一條直線,MN是這一平面的一條斜線,所以只需證MN在平面PAB內(nèi)的射影與AB垂直.
如圖所示,取PB中點(diǎn)E,
連結(jié)EM,則EM∥BC.
又BC⊥平面PAB,所以EM⊥平面PAB.
設(shè)AB中點(diǎn)為F,因?yàn)镻A=PB,所以PF⊥AB.
作EN∥PF,且EN∩AB=N,則EN⊥AB.
由三垂線定理知MN⊥AB.
此時(shí)N為AB的一個(gè)四等分點(diǎn),且.
所以當(dāng)N是AB的一個(gè)四等分點(diǎn)且距B為AB時(shí),MN⊥AB.
小結(jié):三垂線定理或其逆定理可以看作是線面垂直的一種性質(zhì)定理.如本例,由ME⊥平面PAB,有ME⊥AB,又EN⊥AB,所以AB⊥平面MEN.
所以AB⊥MN.但為方便起見,我們應(yīng)該熟悉三垂線定理及其逆定理的直接使用.
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