已知點(diǎn)P在△ABC所在平面外,PA=PB,CB⊥平面PAB,M為PC的中點(diǎn),N在AB上,如圖所示,問當(dāng)N在AB的什么位置上時(shí),有MN⊥AB?

解析:欲證MN⊥AB,注意到AB是平面PAB內(nèi)的一條直線,MN是這一平面的一條斜線,所以只需證MN在平面PAB內(nèi)的射影與AB垂直.

如圖所示,取PB中點(diǎn)E,

連結(jié)EM,則EM∥BC.

又BC⊥平面PAB,所以EM⊥平面PAB.

設(shè)AB中點(diǎn)為F,因?yàn)镻A=PB,所以PF⊥AB.

作EN∥PF,且EN∩AB=N,則EN⊥AB.

由三垂線定理知MN⊥AB.

此時(shí)N為AB的一個(gè)四等分點(diǎn),且.

所以當(dāng)N是AB的一個(gè)四等分點(diǎn)且距B為AB時(shí),MN⊥AB.

小結(jié):三垂線定理或其逆定理可以看作是線面垂直的一種性質(zhì)定理.如本例,由ME⊥平面PAB,有ME⊥AB,又EN⊥AB,所以AB⊥平面MEN.

所以AB⊥MN.但為方便起見,我們應(yīng)該熟悉三垂線定理及其逆定理的直接使用.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在三棱錐P-ABC中,PA=PB=
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,AC=BC=1
,∠ACB=∠PAC=∠PBC=90°,D為AB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面PDC⊥平面ABC;
(Ⅱ)求點(diǎn)P到平面ABC的距離;
(Ⅲ)已知點(diǎn)E在線段PB上,且BE=1,求EC與平面ABC所成的角.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(考生注意:請?jiān)谙铝腥}中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題評閱記分)
A.(不等式選做題)不等式|
x+1
x-1
|≥1
的解集是
(-∞,0]
(-∞,0]

B.(幾何證明選做題) 如圖,以AB=4為直徑的圓與△ABC的兩邊分別交于E,F(xiàn)兩點(diǎn),∠ACB=60°,則EF=
2
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C.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題) 在極坐標(biāo)中,已知點(diǎn)P為方程ρ(cosθ+sinθ)=1所表示的曲線上一動點(diǎn),Q(2,
π
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),則|PQ|的最小值為
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2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點(diǎn)P(x,y)在△ABC所圍成的三角形區(qū)域中(包括邊界)其中三頂點(diǎn)A(1,1),B(5,2),C(1,4),若z=ax+y取最大值時(shí)的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè),則正數(shù)a的值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點(diǎn)P在△ABC所在平面外,直線PA與AB、AC所成的角均為arcsin,且AB = AC =,BC =,則異面直線PA與BC的距離是         。

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