Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=

2

，AC=BC=1，∠ACB=∠PAC=∠PBC=90°，D為AB的中點．
（Ⅰ）求證：平面PDC⊥平面ABC；
（Ⅱ）求點P到平面ABC的距離；
（Ⅲ）已知點E在線段PB上，且BE=1，求EC與平面ABC所成的角．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)D為AB的中點，且AC=BC得到AB⊥CD；同理有AB⊥AD，可證AB⊥平面PDC，即可得到平面PDC⊥平面ABC；
（Ⅱ）延長CD，過點P作PF⊥CD于F，則PF⊥平面ABC，得到PF的長度就為點P到平面ABC的距離；然后在Rt△PFD中求出PF的長度即可；
（Ⅲ）先根據(jù)PF⊥平面ABC，得到平面PFB⊥平面ABC以及EG⊥平面ABC；得到∠ECG為EC與平面ABC所成的角；然后通過求各邊邊長即可求出結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）證明：在△ABC中，∵D為AB的中點，且AC=BC，∴AB⊥CD，
同理，在△PAB中有AB⊥AD，而AD∩CD=D，∴AB⊥平面PDC，
∴平面PDC⊥平面ABC．（5分）
（Ⅱ）延長CD，過點P作PF⊥CD于F，則PF⊥平面ABC．
即PF的長度就為點P到平面ABC的距離．
由已知，可得在△PDC中，PD=

6

2

，DC=

2

2

，PC=

3

，
則cos∠PDC=-

3

3

，∴sin∠PDF=

6

3

，∴Rt△PFD中，PF=1．（9分）
（Ⅲ）過E作EG⊥BF于G，連接CG，
由（2）知PF⊥平面ABC，∴平面PFB⊥平面ABC，
∴EG⊥平面ABC，
即∠ECG為EC與平面ABC所成的角
Rt△PFB中，BF=1，PB=

2

，∴∠PBF=

π

4

，
又∵BE=1，∴Rt△EGB中，EG=

2

2

，
又Rt△EBC中，EC=

2

，∴Rt△EGC中，∠ECG=

π

6

即EC與平面ABC所成的角為

π

6

．（14分）

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及二面角的度量，直二面角的運用，同時考查了空間想象能力和計算能力，屬于中檔題．