Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為DD₁、AA₁的中點(diǎn)，求證：
（1）BD₁∥平面AEC；
（2）平面BD₁F∥平面AEC．

Answer 1

分析：（1）欲證BD₁∥平面EAC，只需在平面EAC內(nèi)找一條直線與BD₁平行，根據(jù)中位線定理可找到滿足條件的直線得到結(jié)論；
（2）要證明平面BD₁F∥平面AEC，只需證明平面BD₁F中兩相交直線分別平行平面AEC，由（1）知BD₁∥平面EAC，故只證明FD₁∥平面AEC，由平行四邊形的性質(zhì)可證．

解答：證明：（1）連接BD交AC于H，連EH．
因?yàn)镠為正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，
所長(zhǎng)H為AC、BD的中點(diǎn)．
在△DD₁B中，E、H分別為DD₁、DB的中點(diǎn)，
所以EH∥D₁B．
又EH?平面EAC，所以BD₁∥平面EAC．
（2）因?yàn)镕、E分別為A₁A、DD₁的中點(diǎn)，所以AF∥ED₁，AF=ED₁，
所以四邊形AFD₁E為平行四邊形，F(xiàn)D₁∥AE，AE?平面AEC，F(xiàn)D₁?平面AEC，
所以FD₁∥平面AEC，
由（1）知，BD₁∥平面AEC，且BD₁∩FD₁=D₁，
所以平面BD₁F∥平面AEC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行、面面平行的判定，考查學(xué)生的推理論證能力，相關(guān)定理是證明空間線面位置關(guān)系的基礎(chǔ)．