Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x）=2^x+m•2^-x．
（1）求m的值，并求當(dāng)f（x）＞2^2-x時(shí)，實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈[-2，1]時(shí)，不等式f（x）＜|k|-

1

2

恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)綜合題,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（0）=1+m=0，求得m的值，可得f（x）的解析式．再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）＞2^2-x 的解集．
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的最大值為f（1），再根據(jù)不等式f（1）＜|k|-

1

2

，求得k的范圍．

解答： 解：（1）由于f（x）=2^x+m•2^-x 為奇函數(shù)，故有f（0）=1+m=0，求得 m=-1，f（x）=2^x -2^-x．
由f（x）＞2^2-x ，可得2^x -2^-x＞2^2-x ，即2^2x＞5，求得x＞

1

2

log₂5，故x的范圍是（

1

2

log₂5，+∞）．
（2）由于函數(shù)f（x）=2^x -2^-x 在R上是增函數(shù)，故當(dāng)x∈[-2，1]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為f（1）=

3

2

．
再根據(jù)不等式f（x）＜|k|-

1

2

恒成立，可得

3

2

＜|k|-

1

2

，即|k|＞2，求得k＞2，或 k＜-2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，屬于基礎(chǔ)題．