Question

已知函數(shù)f（x）=（m∈z）為偶函數(shù)，且以f（2011）＜f（2012）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=log_a[f（x）-ax]（a＞0，a≠1）在區(qū)間[2，3]上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為冪函數(shù)是一個偶函數(shù)，且f（2011）＜f（2012）得-2m²+m+3是偶數(shù)且-2m²+m+3＜0，求出m的解集，找出整數(shù)解即可．
（2）分類討論，考查內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性，利用f（x）=log_a（x²-ax）（a＞0，且a≠1）在區(qū)間[2，3]上是增函數(shù)，即可求實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）由題意得：-2m²+m+3是偶數(shù)且-2m²+m+3＜0，
∴-1＜m＜，且m∈Z，∴m=0或1，
當(dāng)m=0時，-2m²+m+3=3為奇數(shù)，不合，當(dāng)m=1時，-2m²+m+3=2為偶數(shù)，
∴m的值為1，f（x）=x²；
（2）g（x）=log_a[f（x）-ax]=log_a（x²-ax），設(shè)t=x²-ax，
當(dāng)a＞1時，由于g（x）=log_at是增函數(shù)，故只須函數(shù)t=x²-ax在[2，3]是增函數(shù)，且函數(shù)t大于0，
則，解得1＜a＜2．
當(dāng) 1＞a＞0時，由題意可得 函數(shù)t=x²-ax在[2，3]應(yīng)是減函數(shù)，且函數(shù)t大于0，
故，此時無解
綜上，實數(shù)a的取值范圍是（1，2）．
點評：本題考查冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．