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【題目】如圖，在四棱柱中，底面為等腰梯形，，.平面平面，四邊形為菱形，.

（1）求證：；

（2）求與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

方法一（幾何法）：（1）通過證明，證得平面，由此證得；（2）作出直線與平面所成角，利用兩角差的正切公式，求得線面角的正切值，再轉化為正弦值.

方法二（向量法）：（1）取中點，連接，證得底面，由此以為原點建立空間直角坐標系，通過計算，證得.（2）由（1）計算出直線的方向向量和平面的法向量，由此計算出與平面所成角的正弦值.

方法一、

（1）連接、，取中點，連接、.

∵等腰梯形中，，.

∴，.

又∵在菱形中，，∴.

又平面平面，交線為，∴底面.

∵，，

∴四邊形為平行四邊形，.

∴底面，∴，

又∵，相交，∴平面，

∴.

（2）取中點，連接，，，，相交于點，連接，顯然平面平面.

∵平面，∴平面平面，∴平面平面，交線為，∴為與平面所成角.

∵，，

∴，∴由解得.∴與平面所成角的正弦值為.

方法二、

（1）取中點，連接.

∵四邊形為菱形，，∴.

又平面平面，交線為，∴底面.

以為原點如圖建立空間直角坐標系，

則，，，，.

∴，

，

∴，∴.

（2），設平面的法向量為，則，取，.

∴與平面所成角的正弦值為.

練習冊系列答案
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【題目】第二屆中國國際進口博覽會于2019年11月5日至10日在上海國家會展中心舉行.它是中國政府堅定支持貿易自由化和經濟全球化，主動向世界開放市場的重要舉措，有利于促進世界各國加強經貿交流合作，促進全球貿易和世界經濟增長，推動開放世界經濟發(fā)展.某機構為了解人們對“進博會”的關注度是否與性別有關，隨機抽取了100名不同性別的人員（男、女各50名）進行問卷調查，并得到如下列聯表：

男性

女性

合計

關注度極高

35

14

49

關注度一般

15

36

51

合計

50

50

100

（1）根據列聯表，能否有99.9%的把握認為對“進博會”的關注度與性別有關；

（2）若從關注度極高的被調查者中按男女分層抽樣的方法抽取7人了解他們從事的職業(yè)情況，再從7人中任意選取2人談談關注“進博會”的原因，求這2人中至少有一名女性的概率.

附：.

參考數據：

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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（1）若集合，求當時，的值；

（2）若集合，證明：時集合的與時集合的（為了以示區(qū)別，用表示）有關系式，其中；

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