Question

已知函數(shù)f（x）=cos⁴x+2sinxcosx-sin⁴x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)x∈[-

π

2

，0]時(shí)，求f（x）的最小值以及取得最小值時(shí)x的集合．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)倍角公式和兩角和的正弦公式對(duì)解析式化簡(jiǎn)，再由周期公式求解；
（2）由x的范圍求出“2x+

π

4

”的范圍，再由正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷出單調(diào)區(qū)間，從而求出最小值以及對(duì)應(yīng)的x的集合．

解答：解：（1）由題意得f（x）=（cos²x-sin²x）（cos²x+sin²x）+2sinxcosx
=cos2x+sin2x=

2

sin(2x+

π

4

)，
則函數(shù)的周期為：T=

2π

2

=π，
（2）當(dāng)x∈[-

π

2

，0]時(shí)，2x+

π

4

∈[-

3π

4

，

π

4

]，
則f（x）在[-

3π

4

，-

π

2

]上遞減，在[-

π

2

，

π

4

]上遞增
，所以當(dāng)2x+

π

4

=-

π

2

時(shí)，f（x）取最小值-

2

，
此時(shí)x的集合為{-

3π

8

}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角恒等變換及正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，屬于中檔題．