Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞1)的離心率為

2

2

，點N(

1

2

，0)與橢圓上任意一點的距離的最小值為

7

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，M為左頂點，連接MA，MB并延長交直線x=4于P，Q兩點，設(shè)y_P，y_Q分別為點P，Q的縱坐標(biāo)，且

1

yP

+

1

yQ

=

1

y1

+

1

y2

，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由e=

c

a

=

2

2

，可得a²=2c²，b²=a²-c²=c²，故橢圓方程可化為x²+2y²=2c²，設(shè)P（x，y）（x∈[-a，a]）是橢圓上任意一點，則|PN|2=(x-

1

2

)2+y2=(x-

1

2

)2+

1

2

(2c2-x2)=

1

2

x2-x+c2+

1

4

=

1

2

(x-1)2+c2-

1

4

，由于a＞b＞1，可知1∈[-a，a]，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出
當(dāng)x=1時，|PN|²取得最小值c2-

1

4

，進而取得c及a，b；
（II）把直線l：y=kx+m與橢圓C的方程聯(lián)立可得△＞0即根與系數(shù)的關(guān)系，又M（-2，0），故直線AM方程為y=

y1

x1+2

(x+2)，令x=4得，yP=

6y1

x1+2

同理yQ=

6y2

x2+2

，利用

1

yP

+

1

yQ

=

1

y1

+

1

y2

得 

x1+2

6y1

+

x2+2

6y2

=

1

y1

+

1

y2

，整理并把根與系數(shù)的關(guān)系代入可得m=-k，滿足△＞0，可得直線l方程為y=kx-k，可知過定點．

解答：解：（Ⅰ）由e=

c

a

=

2

2

，∴a²=2c²，b²=a²-c²=c²，
故橢圓方程可化為x²+2y²=2c²
設(shè)P（x，y）（x∈[-a，a]）是橢圓上任意一點，
則|PN|2=(x-

1

2

)2+y2=(x-

1

2

)2+

1

2

(2c2-x2)=

1

2

x2-x+c2+

1

4

=

1

2

(x-1)2+c2-

1

4

，
∵a＞b＞1，∴1∈[-a，a]，
因此當(dāng)x=1時，|PN|²取得最小值c2-

1

4

，
∴c2-

1

4

=(

7

2

)2，得c²=2，
∴a²=2×2=4，b²=2．
故所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）由

y=kx+m x2 4 + y2 2 =1

得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-4=0，
△=16k²m²-2（2k²+1）（2m²-4）=32k²+16-8m²＞0（*）
故x1+x2=

-4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-4

2k2+1

，y1+y2=k(x1+x2)+2m=

-4k2m

2k2+1

+2m=

2m

2k2+1

又M（-2，0），故直線AM方程為y=

y1

x1+2

(x+2)，令x=4得，yP=

6y1

x1+2

同理yQ=

6y2

x2+2

，
于是由

1

yP

+

1

yQ

=

1

y1

+

1

y2

得 

x1+2

6y1

+

x2+2

6y2

=

1

y1

+

1

y2

，
整理得：x₁y₂+x₂y₁=4（y₁+y₂），即x₁（kx₂+m）+x₂（kx₁+m）=4（y₁+y₂），
得2kx₁x₂+m（x₁+x₂）=4（y₁+y₂），
∴有

2k(2m2-4)

2k2+1

-

4km2

2k2+1

=

8m

2k2+1

，
整理得m=-k，代入（*）得△=24k²+16＞0
∴直線l方程為y=kx-k，過定點（1，0）．

點評：本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為根與系數(shù)的關(guān)系、直線過定點問題等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．