Question

【題目】已知數(shù)列{an]的前n項和記為Sn ， 且滿足Sn=2an﹣n，n∈N* （Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）證明： +… （n∈N*）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵Sn=2an﹣n（n∈N+），

∴Sn﹣1=2an﹣1﹣n+1=0（n≥2），

兩式相減得：an=2an﹣1+1，

變形可得：an+1=2（an﹣1+1），

又∵a1=2a1﹣1，即a1=1，

∴數(shù)列{an+1}是首項為2、公比為2的等比數(shù)列，

∴an+1=22n﹣1=2n，an=2n﹣1．

（Ⅱ）由 ，（k=1，2，…n），

∴ = ，

由 = ﹣ ，（k=1，2，…n），

得 ﹣ = ，

綜上， +… （n∈N*）

【解析】（Ⅰ）通過Sn=2an﹣n（n∈N+）與Sn﹣1=2an﹣1﹣（n﹣1）（n≥2）作差、變形可知an+1=2（an﹣1+1），進而計算即得結論．（Ⅱ）利用 ，（k=1，2，…n）， = ﹣ （k=1，2，…n），可證明， +… （n∈N*）．