Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx．
（1）求函數(shù)f（x）定義在[-

π

6

，

π

3

]上的值域．
（2）在△ABC中，若f（C）=2，2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），求tanA的值．

Answer 1

分析：（1）先對函數(shù)f（x）根據(jù)二倍角公式和兩角和與差的公式進(jìn)行化簡，再由x的范圍求得2x+

π

6

的范圍，最后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得f（x）的值域．
（2）將C代入到函數(shù)f（x）中可求得C的值，進(jìn)而可得到A+B的值，再結(jié)合2sinB=cos（A-C）-cos（A+C）運(yùn)用兩角和與差的公式即可得到tanA的值．

解答：解：（1）f（x）=1+cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

）+1
∵-

π

6

≤x≤

π

3

∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5

6

π
∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1；
∴f（x）∈[0，3]．
即f（x）的值域為[0，3]
（2）由f（C）=2得2sin（2C+

π

6

）+1=2，∴sin（2C+

π

6

）=

1

2

．
∵0＜C＜π∴

π

6

＜2C+

π

6

＜

13

6

π
∴2C+

π

6

=

5π

6

∴C=

π

3

∴A+B=

2π

3

．
又∵2sinB=cos（A-C）-cos（A+C）
∴2sinB=2sinAsinC
∴2sin(

2π

3

-A)=

3

sinA
即

3

cosA+sinA=

3

sinA
∴(

3

-1)sinA=

3

cosA
∴tanA=

3

3 -1

=

3+ 3

2

．

點評：本題主要考查二倍角公式、兩角和與差的公式的應(yīng)用，考查正弦函數(shù)的值域的求法．高考對三角函數(shù)的考查以基礎(chǔ)題為主，一定要加強(qiáng)基礎(chǔ)知識的夯實．