【題目】設(shè)橢圓E的方程為 +y2=1（a＞1），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)l與橢圓E交于點(diǎn)A，B，M為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)．
（1）若A，B分別為E的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，且OM的斜率為﹣ ，求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若a=2，且|OM|=1，求△AOB面積的最大值．

【答案】
（1）解：設(shè)M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），

則 ，兩式相減，得 ，

即 ，又 ，

代入化簡(jiǎn)，解得a=2，

故E的標(biāo)準(zhǔn)方程為


（2）解：設(shè)直線(xiàn)l：x=my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），

∴ ，整理得：（4+m2）y2+3mny+n2﹣4=0①

y1+y2=﹣ ，y1y2= ，x1+x2= ，

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知：M（ ， ），即M（ ，﹣ ）

∵|OM|=1，

∴n2= ②，

設(shè)直線(xiàn)l與x軸的交點(diǎn)為D（n，0），

則 ，

令 ，

設(shè)t=m2+4（t≥4），

則 ，

當(dāng)t=12時(shí)，即 時(shí)，

△AOB的面積取得最大值1


【解析】（1）將A和B代入橢圓方程，做差求得 ，由斜率公式可知kAB= ，即可求得a的值，求得E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）將直線(xiàn)方程代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求得M點(diǎn)坐標(biāo)，由|OM|=1，可得n2= ，由三角形面積公式可知： ，t=m2+4（t≥4），代入由基本不等式的性質(zhì)即可求得△AOB面積的最大值．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=e1﹣x（﹣a+cosx），a∈R．
（Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）在[0，π]存在單調(diào)增區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若f（ ）=0，證明：對(duì)于x∈[﹣1， ]，總有f（﹣x﹣1）+2f′（x）cos（﹣x﹣1）＞0．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為 （α為參數(shù)）．以點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為ρcos（θ﹣ ）=2 （Ⅰ）將直線(xiàn)l化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求曲線(xiàn)C上的一點(diǎn)Q 到直線(xiàn)l 的距離的最大值及此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知 ． （Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）若 ，畫(huà)出函數(shù)y=g（x）的圖象，討論y=g（x）﹣m（m∈R）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如果定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：對(duì)于任意x1≠x2 ， 都有xlf（xl）+x2f（x2）≥xlf（x2）+x2f（xl），則稱(chēng)f（x）為“H函數(shù)”，給出下列函數(shù)： ①y=﹣x3+x+l；
②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；
③y=l﹣ex；
④f（x）= ；
⑤y=
其中“H函數(shù)”的個(gè)數(shù)有（ ）
A.3個(gè)
B.2個(gè)
C.l個(gè)
D.0個(gè)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若 在 上存在最小值，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)方程（m+1）|ex﹣1|﹣1=0的兩根分別為x1 ， x2（x1＜x2），方程|ex﹣1|﹣m=0的兩根分別為x3 ， x4（x3＜x4）．若m∈（0， ），則（x4+x1）﹣（x3+x2）的取值范圍為（ ）
A.（﹣∞，0）
B.（﹣∞，ln ）
C.（ln ，0）
D.（﹣∞，﹣1）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若f（x）=Asin（ωx+）（其中A＞0，|φ| ）的圖象如圖，為了得到 的圖象，則需將f（x）的圖象（ ）
A.向右平移 個(gè)單位
B.向右平移 個(gè)單位
C.向左平移 個(gè)單位
D.向左平移 個(gè)單位

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，橢圓G的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F1（﹣1，0），離心率e= ．
（1）求橢圓G 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知直線(xiàn)l1：y=kx+m1與橢圓G交于 A，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)l2：y=kx+m2（m1≠m2）與橢圓G交于C，D兩點(diǎn)，且|AB|=|CD|，如圖所示． ①證明：m1+m2=0；
②求四邊形ABCD 的面積S 的最大值．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案