Question

拋物線y²＝2px（p＞0）上縱坐標(biāo)為－p的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為2．

（Ⅰ）求p的值；

（Ⅱ）如圖，A，B，C為拋物線上三點(diǎn)，且線段MA，MB，MC 與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次組成公差為1的等差數(shù)列，若△AMB的面積是△BMC面積的，求直線MB的方程．

 

Answer 1

【答案】

（本題15分）:（Ⅰ）解：設(shè)， 則，，

由拋物線定義，得所以．              ……5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知拋物線方程為，．

設(shè)，， （均大于零）  ……6分

，， 與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為．

（1）當(dāng)軸時(shí)，直線的方程為，則，不合題意，舍去．……7分

（2）與軸不垂直時(shí)，，

設(shè)直線的方程為，即，

令得2，同理2，2，                ……10分

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052514440265624468/SYS201205251446194375318077_DA.files/image016.png">依次組成公差為1的等差數(shù)列，

所以組成公差為2的等差數(shù)列．　　　　　　　　　    ……12分

設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052514440265624468/SYS201205251446194375318077_DA.files/image031.png">，所以=2，

所以　　     　……14分

得，即，所以，

所以直線的方程為：              　　       ……15分

解法二：（Ⅰ）同上．      （Ⅱ）由（Ⅰ）知拋物線方程為，．

由題意，設(shè)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為

設(shè)， （均大于零）．                   ……6分

（1）當(dāng)軸時(shí)，直線的方程為，則，不合題意，舍去． ……7分

（2）與軸不垂直時(shí)，

設(shè)直線的方程為，即，

同理直線的方程為，

由　得　

則 所以，                         ……12分

同理，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，     因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052514440265624468/SYS201205251446194375318077_DA.files/image031.png">，所以=2，

所以  ……14分

化簡(jiǎn)得，即，

所以直線的方程為：              　　       ……15分

【解析】略