Question

已知向量

m

=（

3

sin

ωx

2

，a），

n

=（acos

ωx

2

，cos²

ωx

2

）且a＞0，f（x）=

m

•

n

．函數(shù)f（x）的圖象過最大值點(diǎn)（x₀，3）及相鄰的最小值點(diǎn)（x₀+π，-1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若α∈（-

π

2

，

π

2

）且f（α）=

3

2

，求

cos(α+ π 6 )

sinα

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）化簡可得f（x）=asin（ωx+

π

6

）+

a

2

，由圖象特點(diǎn)可得a=2，ω=1，可得解析式；
（2）可得sin（α+

π

6

）=

1

4

，由范圍和同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得cos（α+

π

6

），進(jìn)而可得sinα，代入計算可得．

解答： 解：（1）∵

m

=（

3

sin

ωx

2

，a），

n

=（acos

ωx

2

，cos²

ωx

2

）且a＞0，
∴f（x）=

m

•

n

=

3

asin

ωx

2

cos

ωx

2

+acos²

ωx

2

=

3

2

asinωx+a

1+cos2ωx

2

=asin（ωx+

π

6

）+

a

2

，
又∵f（x）的圖象過最大值點(diǎn)（x₀，3）及最小值點(diǎn)（x₀+π，-1），
∴a=2，

π

ω

=π，即ω=1
∴f（x）=2sin（x+

π

6

）+1
（2）∵f（α）=

3

2

，∴sin（α+

π

6

）=

1

4

，
又∵α∈（-

π

2

，

π

2

）且sin（α+

π

6

）=

1

4

＜

2

2

，
∴0＜α+

π

6

＜

π

4

，
∴cos（α+

π

6

）=

1-sin2(α+ π 6 )

=

15

4

∴sinα=sin[（α+

π

6

）-

π

6

]=

3 - 15

8

∴

cos(α+ π 6 )

sinα

=

15 4

3 - 15 8

=-

5+ 5

2

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的運(yùn)算，涉及向量數(shù)量積和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬中檔題．