Question

下列說法中正確的是

 

．
①若散點圖所有點都在一條直線附近，則這條直線為回歸直線；
②已知隨機變量?服從正態(tài)分布N（2，a²），且P（ξ＜4）=0.9，則P（0＜ξ＜2）=0.4；
③

∫

0 -1

1-x2

dx=

∫

1 0

1-x2

dx=

π

4

；
④E（2ξ+3）=2E（ξ+3）；D（2ξ+3）=2D（ξ）+3．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：概率與統(tǒng)計

分析：本題①運用散點圖的概念判斷命題真假；②利用正太分布的規(guī)律計算概率大��；③用定積分公式求值；④運用均值和方差地計算規(guī)律進行判斷．

解答： 解：（1）將兩個變量相對應(yīng)的數(shù)據(jù)表示的數(shù)對在直角坐標系中用點表示出來，就是散點圖．如果散點圖所有點都在一條直線附近，可以用一個一次函數(shù)近似地表示它們的關(guān)系，用方程為

^y=bx+a

的直線擬合散點圖中的點，與散點圖中的點最接近的直線回歸直線．故①不正確；
（2）已知隨機變量?服從正態(tài)分布N（2，a²），
∵P（ξ＜4）=P(

ξ-2

a

＜

4-2

a

)=P(Z＜

2

a

)，且P（ξ＜4）=0.9，
∴P(Z＜

2

a

)=0.9．
則P（0＜ξ＜2）=P(

0-2

a

＜

ξ-2

a

＜

2-2

a

)
=P(

-2

a

＜Z＜0)
=P(0＜Z＜

2

a

)
=P(Z＜

2

a

)-P(Z≤0)
=0.9-0.5=0.4，
即P（0＜ξ＜2）=0.4，故選項②正確；
（3）

∫

0 -1

1-x2

dx表示曲線y=

1-x2

、x軸在x=-1，x=0間圍成的圖形的面積，

∫

1 0

1-x2

dx表示曲線y=

1-x2

、x軸在x=0，x=1間圍成的圖形的面積，而曲線y=

1-x2

即圓x²+y²=1在y≥0時的部分，故所求面積為圓的四分之一，即S=

1

4

×π×12=

π

4

，故選項③正確；
（4）E（2ξ+3）=2E（ξ）+3；D（2ξ+3）=4D（ξ）．故④不正確．
故答案為②③．

點評：本題考查了回歸直線的概念、正太分布的概率、定積分求面積、均值和方差的變化特征．本題有一定的計算量，綜合性較強，屬于中檔題．