已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝an＋p·3n(n∈N*，p為常數(shù))，a1，a2＋6，a3成等差數(shù)列．
(1)求p的值及數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設數(shù)列{bn}滿足bn＝，證明：bn≤.
（1）an＝3n（2）
由a1＝3，an＋1＝an＋p·3n，得a2＝3＋3p，a3＝a2＋9p＝3＋12p.
∵a1，a2＋6，a3成等差數(shù)列，∴a1＋a3＝2(a2＋6)，即3＋3＋12p＝2(3＋3p＋6)，得p＝2.
依題意知，an＋1＝an＋2×3n，
當n≥2時，a2－a1＝2×31，a3－a2＝2×32，…，an－an－1＝2×3n－1.
等號兩邊分別相加得an－a1＝2(31＋32＋…＋3n－1)＝2×＝3n－3，
∴an－a1＝3n－3，∴an＝3n(n≥2)．
又a1＝3適合上式，故an＝3n.
(2)證明:∵an＝3n，∴bn＝.
∵bn＋1－bn＝－＝ (n∈N*)．
若－2n2＋2n＋1<0，則n>，
即當n≥2時，有bn＋1<bn.
又因為b1＝，b2<.故bn≤
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在等差數(shù)列和等比數(shù)列中，，，是前項和．
（1）若，求實數(shù)的值；
（2）是否存在正整數(shù)，使得數(shù)列的所有項都在數(shù)列中？若存在，求出所有的，若不存在，說明理由；
（3）是否存在正實數(shù)，使得數(shù)列中至少有三項在數(shù)列中，但中的項不都在數(shù)列中？若存在，求出一個可能的的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知等差數(shù)列，公差，前n項和為，,且滿足成等比數(shù)列.
（I）求的通項公式；
（II）設，求數(shù)列的前項和的值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝＋，且a1＝，則該數(shù)列的前2 013項的和等于(　　)．
A．B．3019C．1508D．013

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d≠0，Sn為其前n項和，若a1，a2，a5成等比數(shù)列，則S8＝________.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知{}為等差數(shù)列，若，,則________.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知n∈N*，數(shù)列{dn}滿足dn＝，數(shù)列{an}滿足an＝d1＋d2＋d3＋…＋d2n，又知在數(shù)列{bn}中，b1＝2，且對任意正整數(shù)m，n，.
(1)求數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}的通項公式；
(2)將數(shù)列{bn}中的第a1項，第a2項，第a3項，…，第an項，…刪去后，剩余的項按從小到大的順序排成新數(shù)列{cn}，求數(shù)列{cn}的前2 013項和．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，a1＝2，a5＝3a3，則S9＝(　　)
A．90B．54C．－54D．－72

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

對于各項均為整數(shù)的數(shù)列，如果為完全平方數(shù)，則稱數(shù)列具有“性質”，不論數(shù)列是否具有“性質”，如果存在與不是同一數(shù)列的，且同時滿足下面兩個條件：
(1)是的一個排列；(2)數(shù)列具有“性質”，則稱數(shù)列具有“變換性質”。給出下面三個數(shù)列：
①數(shù)列的前項和；
②數(shù)列1，2，3，4，5；
③數(shù)列1，2，3，… 11.
其中具有“性質”或具有“變換性質”的為        .（寫出所有正確的序號）．

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