Question

已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，△PBC為正三角形．
（Ⅰ）在平面PCD中作一條與底面ABCD平行的直線，并說明理由；
（Ⅱ）求證：AC⊥平面PAB；
（Ⅲ）求三棱錐A-PBC的高．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,簡單空間圖形的三視圖

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）分別取PC、PD中點(diǎn)E、F，連結(jié)EF，則EF即為所求（作法不唯一）．
（Ⅱ）過點(diǎn)A作AG⊥BC于G，則AC²+AB²=BC²，即AC⊥AB，由于PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，有PA⊥AC，從而可證AC⊥平面PAB．
（Ⅲ）分別求出V_C-PAB，V_A-PBC的值，從而可解得h的值．

解答： 解：（Ⅰ）分別取PC、PD中點(diǎn)E、F，連結(jié)EF，則EF即為所求，下證之：
∵E、F分別為PC、PD中點(diǎn)，∴EF∥CD．
∵EF?平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．（作法不唯一）

（Ⅱ）由三視圖可知，PA⊥平面ABCD，
BC=2AD=2CD=2，四邊形ABCD為直角梯形．
過點(diǎn)A作AG⊥BC于G，則AG=CD=1，GC=AD=1．
∴AC=

AD2+CD2

=

2

，AB=

AG2+BG2

=

2

，
∴AC²+AB²=BC²，故AC⊥AB．
∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PA⊥AC．
∵PA∩AB=A，∴AC⊥平面PAB．

（Ⅲ）∵△PBC為正三角形，∴PB=BC=2．
在Rt△PAB中，PA=

PB2-AB2

=

2

．
∴V_C-PAB=

1

3

S_△PAB•AC=

1

3

×(

1

2

×

2

×

2

)×

2

=

2

3

，
V_A-PBC=

1

3

S_△PBC•h=

1

3

×(

3

4

×22)•h=

3

3

h（其中h為三棱錐A-PBC的高）．
∵V_C-PAB=V_A-PBC，
∴h=

6

3

．

點(diǎn)評：本題主要考察了直線與平面垂直的判定，簡單空間圖形的三視圖，屬于基本知識的考查．