Question

某中學在高一開設了數學史等4門不同的選修課，每個學生必須選修，且只能從中選一門．該校高一的3名學生甲、乙、丙對這4門不同的選修課的興趣相同．
（1）求恰有2門選修課這3個學生都沒有選擇的概率；
（2）設隨機變量ξ為甲、乙、丙這三個學生選修數學史這門課的人數，求ξ的分布列及期望，方差．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）利用古典概型概率計算公式結合排列繃知識能求出恰有2門選修課這3個學生都沒有選擇的概率．
（2）設數學史這門課這3個學生選擇的人數為ξ，由題意知ξ=0，1，2，3，分別求出相對應的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答： （本題滿分12分）
解：（1）恰有2門選修課這3個學生都沒有選擇的概率：
p₁=

C 2 4 C 2 3 A 2 2

43

=

9

16

．（4分）
（2）設數學史這門課這3個學生選擇的人數為ξ，
則ξ=0，1，2，3
P （ξ=0 ）=(

3

4

)3=

27

64

，
P（ξ=1）=

C

1 3

×

1

4

×(

3

4

)2=

27

64

，
P （ξ=2 ）=

C

2 3

×(

1

4

)2×

3

4

=

9

64

，
P （ξ=3 ）=(

1

4

)3=

1

64

，（8分）
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	27 64	27 64	9 64	1 64

∴期望Eξ=np=3×

1

4

=

3

4

，Dξ=3×

1

4

×

3

4

=

9

16

．（12分）

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，解題時要認真審題，是中檔題．