Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是兩個不共線的向量．
（1）求證：|$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$|≤|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|；
（2）應用（1）的結論求函數(shù)y=$\frac{1+sinx}{2-cosx}$的最大值．（注：第2小題未用向量法不給分，要用到向量數(shù)量積相關概念）

Answer 1

分析 （1）運用數(shù)量積得出$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|cos$＜\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞，利用三角函數(shù)有界性求解證明||cos$＜\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞|＜1，即可得證|$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$|＜|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|；
（2）化簡得出2y-1=ycosx+sinx，轉化為數(shù)量積$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow$=（y，1），根據(jù)：$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=ycisx+sinx，|$\overrightarrow{a}$=1，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{{y}^{2}+1}$，利用|$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$|≤|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|可以多次需要的不等式．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|cos$＜\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞，
∴|$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$|≤|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$||cos$＜\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞|，
∵向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是兩個不共線的向量．
∴||cos$＜\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞|＜1，
∴|$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$|＜|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|；
（2）∵y=$\frac{1+sinx}{2-cosx}$，
∴2y-1=ycosx+sinx，
令$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow$=（y，1），
根據(jù)：$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=ycisx+sinx，|$\overrightarrow{a}$=1，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{{y}^{2}+1}$，
|$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$|≤|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|，即|2y-1|≤1×$\sqrt{{y}^{2}+1}$，
化簡得出：3y²-4y≤0，即0≤y$≤\frac{4}{3}$，
∴最大值為：$\frac{4}{3}$

點評 本題考察了平面向量的數(shù)量積的運用，不等式的運用，函數(shù)的性質值域等知識的綜合，屬于中檔題．