Question

【題目】已知，函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)，）．

（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；

（2）若當(dāng)時都有成立，求整數(shù)的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）將代入函數(shù)的解析式，求出和的值，利用點斜式可得出所求切線的方程；

（2）由結(jié)合參變量分離法得出對任意的恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最小值，即可得出整數(shù)的最大值.

（1）當(dāng)時，，，根據(jù)題意可得，，

故曲線在點處的切線方程；

（2）由時都有成立，可得，

得，

構(gòu)造函數(shù)，則，

，

令，，

則，令，得.

當(dāng)時，；當(dāng)時，.

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

則，

又，，，，

所以，存在，使得，得.

當(dāng)時，，即，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，即，此時，函數(shù)單調(diào)遞增.

所以，，

構(gòu)造，其中，則，

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，

又對任意的恒成立，因此，整數(shù)的最大值為.