Question

四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，，．
（Ⅰ）證明：SA⊥BC；
（Ⅱ）求直線SD與平面SBC所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：解法一：（1）作SO⊥BC，垂足為O，連接AO，說明SO⊥底面ABCD．利用三垂線定理，得SA⊥BC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，設AD∥BC，連接SE．說明∠ESD為直線SD與平面SBC所成的角，通過，求出直線SD與平面SBC所成的角為．
解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足為O，連接AO，以O為坐標原點，OA為x軸正向，建立直角坐標系O-xyz，通過證明，推出SA⊥BC．
（Ⅱ）.與的夾角記為α，SD與平面ABC所成的角記為β，因為為平面SBC的法向量，利用α與β互余．通過，，推出直線SD與平面SBC所成的角為．
解答：解法一：
（1）作SO⊥BC，垂足為O，連接AO，
由側面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．
因為SA=SB，所以AO=BO，
又∠ABC=45°，故△AOB為等腰直角三角形，AO⊥BO，
由三垂線定理，得SA⊥BC．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，
依題設AD∥BC，
故SA⊥AD，由，，．
又，作DE⊥BC，垂足為E，
則DE⊥平面SBC，連接SE．∠ESD為直線SD與平面SBC所成的角．
所以，直線SD與平面SBC所成的角為．

解法二：
（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足為O，連接AO，
由側面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．
因為SA=SB，所以AO=BO．
又∠ABC=45°，△AOB為等腰直角三角形，AO⊥OB．
如圖，以O為坐標原點，OA為x軸正向，建立直角坐標系O-xyz，
因為，，
又，所以，，．S（0，0，1），，，，所以SA⊥BC．

（Ⅱ），.與的夾角記為α，SD與平面ABC所成的角記為β，因為為平面SBC的法向量，所以α與β互余．，，
所以，直線SD與平面SBC所成的角為．
點評：本小題主要考查空間線面關系、直線與平面所成的角等知識，考查數(shù)形結合、化歸與轉化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．