Question

已知函數(shù)f（x）=

2

x

+alnx-2（a＞0）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線與直線y=x+2垂直，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對(duì)于任意?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)函數(shù)，利用曲線y=f（x）在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線與直線y=x+2垂直，求出a的值，從而可得函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）對(duì)于任意?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，即f（x）_min＞2（a-1）成立，求導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而可得函數(shù)的最小值，進(jìn)而可建立不等式，由此可求a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）
求導(dǎo)函數(shù)可得f′(x)=-

2

x2

+

a

x

∴f′（1）=-2+a
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線與直線y=x+2垂直，
∴-2+a=-1
∴a=1
∴f′(x)=-

2

x2

+

1

x

=

x-2

x2

令f′（x）＞0，可得x＞2；令f′（x）＜0，x＞0，可得0＜x＜2
∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，2）；
（Ⅱ）對(duì)于任意?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，即f（x）_min＞2（a-1）成立
f′(x)=-

2

x2

+

a

x

=

ax-2

x2

（a＞0）
令f′（x）＞0，可得x＞

2

a

；令f′（x）＜0，x＞0，可得0＜x＜

2

a

∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（

2

a

，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，

2

a

）；
∴x=

2

a

時(shí)，函數(shù)取得極小值且為最小值
∴f（

2

a

）＞2（a-1）
∴ln

2

a

＞1
∴0＜a＜

2

e

∴a的取值范圍為(0，

2

e

)．

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是求導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的最值．