Question

15．已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，若a_n（4+cosnπ）=n（2-cosnπ），S_2n=an²+bn，則ab等于（　　）

• A． $\frac{6}{25}$
• B． $\frac{16}{25}$
• C． $\frac{21}{25}$
• D． $\frac{24}{25}$

Answer 1

分析 a_n（4+cosnπ）=n（2-cosnπ），分別令n=1，2，3，4，可得a₁，a₂，a₃，a₄．由于S_2n=an²+bn，可得S₂=a+b=a₁+a₂，S₄=4a+2b=a₁+a₂+a₃+a₄，聯(lián)立解出即可得出．

解答 解：∵a_n（4+cosnπ）=n（2-cosnπ），
∴a₁=1，a₂=$\frac{2}{5}$，a₃=3，a₄=$\frac{4}{5}$．
∵S_2n=an²+bn，
∴S₂=a+b=a₁+a₂=$\frac{7}{5}$，
S₄=4a+2b=a₁+a₂+a₃+a₄=1+$\frac{2}{5}$+3+$\frac{4}{5}$=$\frac{26}{5}$．
聯(lián)立解得b=$\frac{1}{5}$，a=$\frac{6}{5}$．
則ab=$\frac{6}{25}$．
故選：A．

點評 本題考查了數(shù)列的通項公式及其前n項和公式及其性質(zhì)、三角函數(shù)的求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．