Question

4．淮北市政府為科技興市，欲在如圖所示的矩形ABCD的非農(nóng)業(yè)用地中規(guī)劃出一個高科技工業(yè)園區(qū)（如圖中陰影部分），形狀為直角梯形QPRE（線段EQ和RP為兩個底邊），已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km，其中AF是以A為頂點(diǎn)、AD為對稱軸的拋物線的一段曲線段．
（1）若QP=x，陰影部分的面積為S，用x表示S的解析式；
（2）試求該高科技工業(yè)園區(qū)的最大面積．

Answer 1

分析 （1）如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系，從而寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得|EQ|=4-x²，|RP|=x+4-x²，|QP|=x，從而求得；
（2）求導(dǎo)S′=-3x²+x+4=（-3x+4）（x+1），從而可得當(dāng)x=$\frac{4}{3}$時(shí)，有最大面積S=-$\frac{{4}^{3}}{{3}^{3}}$+$\frac{\frac{{4}^{2}}{{3}^{2}}}{2}$+4×$\frac{4}{3}$=$\frac{104}{27}$．

解答 解：（1）如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系，如右圖，
A（0，0），B（2，0），C（2，6），
D（0，6），E（0，4），F(xiàn)（2，4），
易知拋物線的方程為y=x²，
由QP=x，（0＜x＜2），點(diǎn)P（x，x²）；
直線CE的方程為y=x+4，
故點(diǎn)R（x，x+4）；
故|EQ|=4-x²，|RP|=x+4-x²，|QP|=x，
故S=$\frac{1}{2}$（4-x²+x+4-x²）•x=-x³+$\frac{{x}^{2}}{2}$+4x；
（2）∵S=-x³+$\frac{{x}^{2}}{2}$+4x，
∴S′=-3x²+x+4=（-3x+4）（x+1），
∴S在（0，$\frac{4}{3}$）上是增函數(shù)，在（$\frac{4}{3}$，2）上是減函數(shù)，
故當(dāng)x=$\frac{4}{3}$時(shí)，有最大面積S=-$\frac{{4}^{3}}{{3}^{3}}$+$\frac{\frac{{4}^{2}}{{3}^{2}}}{2}$+4×$\frac{4}{3}$=$\frac{104}{27}$；
故該高科技工業(yè)園區(qū)的最大面積為$\frac{104}{27}$km²．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，同時(shí)考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．