Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，PA⊥底面ABCD，
點M是棱PC的中點，AM⊥平面PBD
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）求平面PAD與平面AMD所成二面角的大小．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間角,空間向量及應用

分析：（1）以A為原點，AB、AD、AP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，由AM⊥平面PBD，利用向量法求出PA=1，由此能求出四棱錐P-ABCD的體積．
（2）求出平面PAD的一條法向量和平面AMD的一條法向量，利用向量法能求出平面PAD與平面AMD所成二面角的大�。�

解答： 解：（1）以A為原點，AB、AD、AP所在直線為x，y，z軸，
建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），
設PA=a（a＞0），則P（0，0，a），
∵M是PC的中點，∴M（

1

2

，

1

2

，

a

2

），

AM

=（

1

2

，

1

2

，

a

2

），

BD

=(-1，1，0)，

BP

=(-1，0，a)，
∵AM⊥平面PBD，∴

AM

⊥

BP

，∴

AM

•

BP

=-

1

2

+

a2

2

=0，
解得a=1，即PA=1，
∴四棱錐P-ABCD的體積V=

1

3

×PA×S正方形ABCD=

1

3

．
（2）由題意得

AB

=（1，0，0）是平面PAD的一條法向量，

AM

=（

1

2

，

1

2

，

1

2

），

AD

=（0，1，0），
設平面AMD的一條法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • AM =x+y+z=0 n • AD =y=0

，取z=1，得

n

=（-1，0，1），
設平面PAD與平面AMD所成二面角的平面角為θ，
則cosθ=

| AB • n |

| AB |•| n |

=

2

2

，∴θ=

π

4

，
∴平面PAD與平面AMD所成二面角的大小為

π

4

．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定定理、平面與平面垂直的性質定理、二面角的求解等基礎知識和空間向量的立體幾何中的應用，意在考查方程思想、等價轉化思想等數學思想方法和考生的空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力．