Question

14．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，AB=BC=AC=AA₁=4，點F在CC₁上，且C₁F=3FC，E是BC的中點．
（1）求證：AE⊥平面BCC₁B₁
（2）求四棱錐A-B₁C₁FE的體積；
（3）證明：B₁E⊥AF．

Answer 1

分析 （1）易證AE⊥BC，BB₁⊥AE，又BB₁∩BC=B，BB₁，BC?平面BB₁C₁C，即可證明AE⊥平面BB₁C₁C．
（2）由（1）知AE為四棱錐A-B₁C₁FE的高，由題意根據(jù)${S}_{四邊形{B}_{1}{C}_{1}FE}$=${S}_{正方形B{B}_{1}{C}_{1}C}$-${S}_{△B{B}_{1}E}$-S_△CFE即可得解．
（3）證明：連結(jié)B₁F，由（1）可證AE⊥B₁E，易求B₁F，B₁E，EF的值，由勾股定理可證B₁E⊥EF，從而可證明B₁E⊥平面AEF，根據(jù)AF?平面AEF，即可判定B₁E⊥AF．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）∵AB=AC，E是BC的中點，
∴AE⊥BC．…．（1分）
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁，中，BB₁∥AA₁，
∴BB₁⊥平面ABC，
∵AE?平面ABC，
∴BB₁⊥AE，…．（2分）
又∵BB₁∩BC=B，…．（3分）
BB₁，BC?平面BB₁C₁C，
∴AE⊥平面BB₁C₁C，…．（4分）
（2）由（1）知，即AE為四棱錐A-B₁C₁FE的高，
在正三角形ABC中，AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，…（5分）
在正方形BB₁C₁C，中，CE=BE=2，CF=1，
∴${S}_{四邊形{B}_{1}{C}_{1}FE}$=${S}_{正方形B{B}_{1}{C}_{1}C}$-${S}_{△B{B}_{1}E}$-S_△CFE=4×$4-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×2×1$=11．…（6分）
∴${V}_{A-{B}_{1}{C}_{1}FE}$=$\frac{1}{3}$${S}_{四邊形{B}_{1}{C}_{1}FE}$•AE
=$\frac{1}{3}×11×2\sqrt{3}$
=$\frac{22\sqrt{3}}{3}$…（7分）
（3）證明：連結(jié)B₁F，由（1）得AE⊥平面BB₁C₁C，
∵B₁E?平面BB₁C₁C，∴AE⊥B₁E，…．（8分）
在正方形BB₁C₁C，中，B₁F=$\sqrt{{B}_{1}{{C}_{1}}^{2}+{C}_{1}{F}^{2}}$=5，B₁E=$\sqrt{B{E}^{2}+B{{B}_{1}}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
EF=$\sqrt{C{E}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵B₁F²=B₁E²+EF²，
∴B₁E⊥EF…．（9分）
又∵AE∩EF=E，…．（10分）
AE，EF?平面AEF，
∴B₁E⊥平面AEF，…．（11分）
∵AF?平面AEF，
∴B₁E⊥AF．…．（12分）

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，四棱錐體積的求法，直線與平面、平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．