設(shè)F1,F(xiàn)2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),若橢圓上存在點(diǎn)P滿足∠F1PF2=120°,則橢圓的離心率的取值范圍是( 。
分析:先根據(jù)橢圓定義可知|PF1|+|PF2|=2a,再利用余弦定理化簡(jiǎn)整理得cos∠PF1F2=
4a2-4c2
2|PF1||PF2|
-1,進(jìn)而根據(jù)均值不等式確定|PF1||PF2|的范圍,進(jìn)而確定cos∠PF1F2的最小值,求得a和b的關(guān)系,進(jìn)而求得a和c的關(guān)系,確定橢圓離心率的取值范圍.
解答:解:F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),c>0,設(shè)P(x1,y1),
則|PF1|=a+ex1,|PF2|=a-ex1
在△PF1F2中,由余弦定理得cos120°=
1
2
=
(a+ex1)2+(a-ex1)2-4c2
2(a+ex1)(a-ex1)
,
解得x12=
4c2-3a2
e2

∵x12∈(0,a2],∴0≤
4c2-3a2
e2
<a2,即4c2-3a2≥0.且e2<1
∴e=
c
a
3
2

故橢圓離心率的取范圍是 e∈[
3
2
,1)

故選A.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了橢圓的應(yīng)用.當(dāng)P點(diǎn)在短軸的端點(diǎn)時(shí)∠F1PF2值最大,這個(gè)結(jié)論可以記住它.在做選擇題和填空題的時(shí)候直接拿來(lái)解決這一類的問(wèn)題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)F1、F2為橢圓的左右焦點(diǎn),過(guò)橢圓
x2
25
+
y2
16
=1
的中心任作一直線與橢圓交于PQ兩點(diǎn),當(dāng)四邊形PF1QF2面積最大時(shí),
PF1
PF2
的值等于
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
 (a>b>0)的離心率e=
6
3
,過(guò)點(diǎn)A(0,-b)和B(a,0)的直線與原點(diǎn)的距離為
3
2

(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)F1、F2為橢圓的左、右焦點(diǎn),過(guò)F2作直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn),求△PQF1的內(nèi)切圓半徑r的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)F1,F(xiàn)2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),|F1F2|=8,P為橢圓上的一點(diǎn),|PF1|+|PF2|=10,PF1⊥PF2,則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2006•薊縣一模)設(shè)F1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),A為橢圓上的點(diǎn),且
AF2
F1F2
=0
,cos∠AF1F2=
2
2
3
,則橢圓的離心率為( 。

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