Question

1．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n＞0，其前n項和為S_n滿足2S_n=a_n²+a_n．則a_n=n．

Answer 1

分析 通過當n≥2時2a_n=2S_n-2S_n-1計算、整理可知a_n+a_n-1=（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1），通過a_n＞0可知a_n+a_n-1＞0，從而a_n-a_n-1=1，進而可知數(shù)列{a_n}是以首項、公差均為1的等差數(shù)列，計算即得結(jié)論．

解答 解：∵2S_n=a_n²+a_n，
∴當n≥2時，2S_n-1=a_n-1²+a_n-1，
∴2a_n=2S_n-2S_n-1
=（a_n²+a_n）-（a_n-1²+a_n-1）
=${{a}_{n}}^{2}$-${{a}_{n-1}}^{2}$+a_n-a_n-1，
整理得：a_n+a_n-1=${{a}_{n}}^{2}$-a_n-1=（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1），
又∵a_n＞0，
∴a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=1，
又∵2S₁=a₁²+a₁，
∴a₁=1或a₁=0（舍），
∴數(shù)列{a_n}是以首項、公差均為1的等差數(shù)列，
∴a_n=n，
故答案為：n．

點評 本題考查數(shù)列的通項，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．