Question

已知函數(shù)f（x）=1+ln

x

2-x

（0＜x＜2）．
（1）是否存在點M（a，b），使得函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點P關于點M對稱的點Q也在函數(shù)y=f（x）的圖象上？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；
（2）定義Sn=

2n-1

i=1

f(

i

n

)=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

2n-1

n

)，其中n∈N^*，求S₂₀₁₃；
（3）在（2）的條件下，令S_n+1=2a_n，若不等式2an•(an)m＞1對?n∈N^*且n≥2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)圖象關于點對稱的公式，設存在滿足條件的點M（a，b），則f（x）+f（2a-x）=2b，代入解析式化簡整理，即可解出a=b=1；
（2）由（1）得f（x）+f（2-x）=2，將x=

i

n

（i=1，2，…，2n-1）代入函數(shù)式，并采用倒序相加的方法算出2S_n=2（2n-1），化簡得S_n=2n-1，從而算出S₂₀₁₃=2×2013-1=4025．
（3）由（2）中S_n=2n-1，結合題意算出a_n=n．原不等式等價于2n •nm＞1，兩邊取以e為底的對數(shù)，整理得

n

lnn

＞-

m

ln2

恒成立，可得(

n

lnn

)min＞-

m

ln2

．然后設g（x）=

x

lnx

（x＞0），利用導數(shù)研究出函數(shù)g（x）在（0，e）上為減函數(shù)，在（e，+∞）上為增函數(shù)．結合g（2）＞g（3）得到g（x）的最小值為g（3）=

3

ln3

，由此可得

3

ln3

＞-

m

ln2

，解之即可得到實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）假設存在點M（a，b），使得函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點P關于點M對稱的點Q
也在函數(shù)y=f（x）的圖象上，則函數(shù)y=f（x）圖象的對稱中心為M（a，b）．
由f（x）+f（2a-x）=2b，得1+ln

x

2-x

+1+ln

2a-x

2-2a+x

=2b，
即2-2b+ln

-x2+2ax

-x2+2ax+4-4a

=0對任意0＜x＜2恒成立，所以

2-2b=0 4-4a=0

，解得a=b=1；
∴存在點M（1，1），使得函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點P關于點M對稱的點Q也在函數(shù)y=f（x）的圖象上；（2）由（1）得f（x）+f（2-x）=2．
令x=

i

n

，則f（

i

n

）+f（2-

i

n

）=2（i=1，2，…，2n-1）．
∵Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

2n-1

n

)…①，
∴Sn=f(

2n-1

n

)+f(

2n-2

n

)+…+f(

2

n

)+f(

1

n

)②，
由①+②得2S_n=2（2n-1），可得S_n=2n-1．（n∈N^*）
所以S₂₀₁₃=2×2013-1=4025．
（3）由（2）得S_n=2a_n-1=2n-1，所以a_n=n．
∵當n∈N^*且n≥2時，2an•(an)m＞1等價于2n •nm＞1，即

n

lnn

＞-

m

ln2

．
所以當n∈N^*且n≥2時，不等式

n

lnn

＞-

m

ln2

恒成立，即(

n

lnn

)min＞-

m

ln2

．
設g（x）=

x

lnx

（x＞0），則g'（x）=

lnx-1

(lnx)2

．
當0＜x＜e時，g'（x）＜0且當x＞e時，g'（x）＞0
∴函數(shù)g（x）在（0，e）上為減函數(shù)，在（e，+∞）上為增函數(shù)．
因為e∈（2，3），且g（2）=

2

ln2

＞g（3）=

3

ln3

，
所以當n∈N^*且n≥2時，g（x）的最小值為g（3）=

3

ln3

，
即(

n

lnn

)min=

3

ln3

＞-

m

ln2

，解之得m＞-

3ln2

ln3

．
所以實數(shù)m的取值范圍是（-

3ln2

ln3

，+∞）．

點評：本題著重考查了等差數(shù)列的通項公式與求和公式、函數(shù)圖象的對稱中心研究、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與最值和不等式恒成立的討論等知識點，屬于難題．