Question

（1）求證：a²+b²+c²≥ab+bc+ac；
（2）求證：a+

1

a-1

≥3（a＞1）
（3）已知x＞0，y＞0，且x+2y=1，求

1

x

+

1

y

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式,不等式的證明

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由于（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²≥0，展開即可得出；
（2）由a＞1，變形a+

1

a-1

=（a-1）+

1

a-1

+1利用基本不等式即可證明．
（3）利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： （1）證明：∵（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²≥0，
∴2（a²+b²+c²）≥2（ab+bc+ac），
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ac；
（2）證明：∵a＞1，∴a-1＞0．
∴a+

1

a-1

=（a-1）+

1

a-1

+1≥2

(a-1)× 1 a-1

+1=3，當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)取等號(hào)．
（3）∵x＞0，y＞0，且x+2y=1，
∴

1

x

+

1

y

=（x+2y）(

1

x

+

1

y

)=3+

2y

x

+

x

y

≥3+2

2y x • x y

=3+2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

2

y=

2

-1時(shí)取等號(hào)．
∴

1

x

+

1

y

的最小值是3=2

2

．

點(diǎn)評：本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了變形的能力，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．