Question

【題目】某廠生產(chǎn)不同規(guī)格的一種產(chǎn)品，根據(jù)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，其合格產(chǎn)品的質(zhì)量y（g）與尺寸x（mm）之間近似滿(mǎn)足關(guān)系式y(tǒng)=axb（a，b為大于0的常數(shù)）．現(xiàn)隨機(jī)抽取6件合格產(chǎn)品，測(cè)得數(shù)據(jù)如下：

尺寸（mm）	38	48	58	68	78	88
質(zhì)量（g）	16.8	18.8	20.7	22.4	24.0	25.5

對(duì)數(shù)據(jù)作了初步處理，相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如下表：

75.3	24.6	18.3	101.4

（Ⅰ）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程；
（Ⅱ）按照某項(xiàng)指標(biāo)測(cè)定，當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間（ ， ）內(nèi)時(shí)為優(yōu)等品．現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選3件，記ξ為取到優(yōu)等品的件數(shù)，試求隨機(jī)變量ξ的分布列和期望．
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（v1 ， u1），（v2 ， u2），…，（vn ， un），其回歸直線(xiàn)u=α+βv的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為 = ， = ﹣ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）對(duì)y=axb（a，b＞0）兩邊取科學(xué)對(duì)數(shù)得lny=blnx+lna，

令vi=lnxi，ui=lnyi得u=bv+lna，

由 = ，

ln =1， =e，

故所求回歸方程為 ．

（Ⅱ）由 ，

x=58，68，78，即優(yōu)等品有3件，

ξ的可能取值是0，1，2，3，且 ，

，

，

．

其分布列為：

ξ	0	1	2	3
P

∴

【解析】（Ⅰ）對(duì)y=axb（a，b＞0）兩邊取科學(xué)對(duì)數(shù)得lny=blnx+lna，令vi=lnxi，ui=lnyi得u=bv+lna，由最小二乘法求得系數(shù) 及 ，即可求得y關(guān)于x的回歸方程；（Ⅱ）由題意求得優(yōu)等品的個(gè)數(shù)，求得隨機(jī)變量ξ取值，分別求得P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2）及P（ξ=3），求得其分布列和數(shù)學(xué)期望．