Question

13．函數(shù)f（x）=sin（ωx+ϕ）$（ω＞0，0＜ϕ＜\frac{π}{2}）$，f（0）=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且對(duì)任意${x_1}，{x_2}∈（\frac{π}{2}，π）$均滿足$\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}＜0（{x_1}≠{x_2}）$，則ω的取值范圍是$\frac{1}{2}$≤ω≤$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，得出函數(shù)的周期T=$\frac{2π}{ω}$≥π，解得ω≤2；
由題意得出f（x）是（$\frac{π}{2}$，π）上的單調(diào)減函數(shù)，得出$\frac{π}{2}$+2kπ＜ωx+$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
由此建立不等關(guān)系，求出實(shí)數(shù)ω的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ），且f（0）=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴sinφ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{4}$；
又對(duì)任意${x_1}，{x_2}∈（\frac{π}{2}，π）$均滿足$\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}＜0（{x_1}≠{x_2}）$，
∴f（x）在（$\frac{π}{2}$，π）上是單調(diào)減函數(shù)，
∴ωx+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{1}{2}$ωπ+$\frac{π}{4}$，ωπ+$\frac{π}{4}$），
且周期T=$\frac{2π}{ω}$≥π，解得ω≤2；
∵f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$）的減區(qū)間滿足：
$\frac{π}{2}$+2kπ＜ωx+$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
取k=0時(shí)，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}ωπ+\frac{π}{4}≥\frac{π}{2}}\\{ωπ+\frac{π}{4}≤\frac{3π}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{2}$≤ω≤$\frac{5}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$≤ω≤$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的單調(diào)性質(zhì)與圖象的變換應(yīng)用問題，屬于綜合性題目．