Question

已知橢圓Γ的方程為，A（0，b）、B（0，-b）和Q（a，0）為Γ的三個(gè)頂點(diǎn)．
（1）若點(diǎn)M滿足，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線l₁：y=k₁x+p交橢圓Γ于C、D兩點(diǎn)，交直線l₂：y=k₂x于點(diǎn)E．若，證明：E為CD的中點(diǎn)；
（3）設(shè)點(diǎn)P在橢圓Γ內(nèi)且不在x軸上，如何構(gòu)作過PQ中點(diǎn)F的直線l，使得l與橢圓Γ的兩個(gè)交點(diǎn)P₁、P₂滿足？令a=10，b=5，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-8，-1），若橢圓Γ上的點(diǎn)P₁、P₂滿足，求點(diǎn)P₁、P₂的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知M是B（0，-b）和Q（a，0）的中點(diǎn)，所以．
（2）由題設(shè)條件得方程（a²k₁²+b²）x²+2a²k₁px+a²（p²-b²）=0，所以a²k₁²+b²-p²＞0是CD的中點(diǎn)；
（3）因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓Γ內(nèi)且不在x軸上，所以點(diǎn)F在橢圓Γ內(nèi)，可以求得直線OF的斜率k₂，由知F為P₁P₂的中點(diǎn)，由此可得P₁（-6，-4）、P₂（8，3）．
解答：解：（1）∵，
∴M是B（0，-b）和Q（a，0）的中點(diǎn)，
∴．
（2）由方程組，
消y得方程（a²k₁²+b²）x²+2a²k₁px+a²（p²-b²）=0，
因?yàn)橹本�l₁：y=k₁x+p交橢圓Γ于C、D兩點(diǎn)，
所以△＞0，即a²k₁²+b²-p²＞0，
設(shè)C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），CD中點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），設(shè)C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），CD中點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
則，
由方程組，消y得方程（k₂-k₁）x=p，
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125835932047581/SYS201310251258359320475019_DA/7.png">，
所以，
故E為CD的中點(diǎn)；
（3）因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓Γ內(nèi)且不在x軸上，
所以點(diǎn)F在橢圓Γ內(nèi)，可以求得直線OF的斜率k₂，
由知F為P₁P₂的中點(diǎn)，
根據(jù)（2）可得直線l的斜率，
從而得直線l的方程．，
直線OF的斜率，
直線l的斜率，
解方程組，消y：x²-2x-48=0，
解得P₁（-6，-4）、P₂（8，3），或P₁（8，3）、P₂（-6，-4），．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的圓錐曲線的綜合問題，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用．