Question

數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n（n∈N⁺）．
（Ⅰ）證明數(shù)列{S_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（Ⅲ）求數(shù)列{n•a_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證一個數(shù)列為等比數(shù)列，就是要證明這個數(shù)列的每一項與它的前一項的之比是一個常數(shù)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知S_n=3^n-1（n∈N^*），又a_n+1=2S_n（n∈N⁺）可求n≥2時a_n通項，知a₁=1，所以可求n∈N^*時a_n通項．
（Ⅲ）在T_n 的等式兩邊同乘以3得到一個新的等式，兩式左右兩邊分別相減，再用等比數(shù)列的前n項和可求T_n

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+1=2S_n，∴S_n+1-S_n=2S_n，∴

Sn+1

Sn

=3．
又∵S₁=a₁=1，
∴數(shù)列{S_n}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，S_n=3^n-1（n∈N^*）．…（4分）
（Ⅱ）當(dāng)n≥2時，a_n=2S_n-1=2•3^n-2（n≥2），

∴an= 1，(n=1) 2•3n-2，(n≥2).

…（8分）
（Ⅲ） T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n，
當(dāng)n=1時，T₁=1；
當(dāng)n≥2時，T_n=1+4•3⁰+6•3¹+…+2n•3^n-2，…①
3T_n=3+4•3¹+6•3²+…+2n•3^n-1，…②…（11分）
①-②得：-2T_n=-2+4+2（3¹+3²+…+3^n-2）-2n•3^n-1
=2+2•

3(1-3n-2)

1-3

-2n•3n-1=-1+(1-2n)•3n-1
∴Tn=

1

2

+(n-

1

2

)3n-1(n≥2)．         …（13分）
又∵T₁=a₁=1也滿足上式，
∴Tn=

1

2

+(n-

1

2

)3n-1(n∈N*)．                        …（14分）

點(diǎn)評：求通項公式時，注意驗證n=1；用錯位相減法求數(shù)列的前n項和，要觀察項的特征，是否是等差數(shù)列的項與等比數(shù)列的項的乘積．