Question

如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱DD₁的中點．
（Ⅰ）證明：平面ADC₁B₁⊥平面A₁BE；
（Ⅱ）在棱C₁D₁上是否存在一點F，使B₁F∥平面A₁BE？證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，∴B₁C₁⊥平面AA₁B₁B；
∵A₁B⊆平面AA₁B₁B，∴B₁C₁⊥A₁B． …（2分）
又∵正方形AA₁B₁B中，A₁B⊥AB₁，且B₁C₁、AB₁是平面ADC₁B₁內(nèi)的相交直線
∴A₁B⊥平面ADC₁B₁．…（4分）
∵A₁B⊆平面A₁BE，∴平面ADC₁B₁⊥平面A₁BE．…（6分）
（Ⅱ）當(dāng)點F為C₁D₁中點時，可使B₁F∥平面A₁BE．…（7分）
證明如下：
∵△C₁D₁D中，EF是中位線，∴EF∥C₁D且EF=C₁D，…（9分）
設(shè)AB₁∩A₁B=O，則平行四邊形AB₁C₁D中，B₁O∥C₁D且B₁O=C₁D，
∴EF∥B₁O且EF=B₁O，
∴四邊形BEF∥B₁OEF為平行四邊形，B₁F∥OE．…（11分）
∵B₁F?平面A₁BE，OE⊆平面A₁BE，
∴B₁F∥平面A₁BE …（13分）
分析：（I）由B₁C₁⊥平面AA₁B₁B，得B₁C₁⊥A₁B．結(jié)合正方形AA₁B₁B中，A₁B⊥AB₁，可得A₁B⊥平面ADC₁B₁．最后根據(jù)面面垂直的判定定理，得到平面ADC₁B₁⊥平面A₁BE；
（II）設(shè)AB₁∩A₁B=O，取C₁D₁中點F，連接OE、EB、B₁F．根據(jù)三角形中位線定理，得EF∥C₁D且EF=C₁D，平行四邊形AB₁C₁D中，有B₁O∥C₁D且B₁O=C₁D，從而得到EF∥B₁O且EF=B₁O，四邊形BEF∥B₁OEF為平行四邊形，B₁F∥OE，所以B₁F∥平面A₁BE，即存在C₁D₁中點F，使B₁F∥平面A₁BE．
點評：本題在正方體中，證明面面垂直并且探索線面平行的存在性，著重考查了正方體的性質(zhì)、線面平行的判定，以及線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．