Question

【題目】已知冪函數(shù)f(x)＝x (m∈N*)．

(1)試確定該函數(shù)的定義域，并指明該函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性；

(2)若該函數(shù)還經(jīng)過點(2， )，試確定m的值，并求滿足條件f(2－a)＞f(a－1)的實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析.

【解析】試題分析:(1)先判斷冪函數(shù)的指數(shù)的奇偶,由m與m＋1中必定有一個為偶數(shù),可知m2＋m為偶數(shù),可得函數(shù)開偶次方,即函數(shù)定義域為[0，＋∞),且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增;(2)由過點(2， )和m∈N*求出m的值,進而得出函數(shù)的定義域和單調(diào)性,列出不等式解出a的范圍即可.

試題解析:

(1)∵m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，

∴m與m＋1中必定有一個為偶數(shù)，

∴m2＋m為偶數(shù)，

∴函數(shù)f(x)＝x (m∈N*)的定義域為[0，＋∞)，并且該函數(shù)在其定義域上為增函數(shù)．

(2)∵函數(shù)f(x)經(jīng)過點(2，)，

∴＝2，即2＝2，

∴m2＋m＝2，即m2＋m－2＝0.

∴m＝1或m＝－2.

又∵m∈N*，∴m＝1.

∵f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，

∴由f(2－a)＞f(a－1)得

解得1≤a＜.

故m的值為1，滿足條件f(2－a)＞f(a－1)的實數(shù)a的取值范圍為.

點睛:本題考查冪函數(shù)的定義和性質(zhì),屬于中檔題. 第一問先判斷冪函數(shù)的指數(shù)的奇偶,由m與m＋1中必定有一個為偶數(shù),可知m2＋m為偶數(shù),可得函數(shù)開偶次方,即函數(shù)定義域為[0，＋∞),且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增;第二問由過點(2， )和m∈N*求出m的值,進而得出函數(shù)的定義域和單調(diào)性, 寫出f(2－a)＞f(a－1)的等價條件求解即可.