【題目】已知在四棱錐中,底面是邊長為的正方形,是正三角形,CD平面PADE,F,G,O分別是PC,PD,BC,AD 的中點.

(Ⅰ)求證:PO平面;

(Ⅱ)求平面EFG與平面所成銳二面角的大小;

(Ⅲ)線段上是否存在點,使得直線與平面所成角為,若存在,求線段的長度;若不存在,說明理由.

【答案】(Ⅰ)證明見解析 (Ⅱ)(Ⅲ)不存在,見解析

【解析】

(Ⅰ)正三角形,由平面得到,所以得到;(Ⅱ)以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)平面的法向量,和平面的法向量,從而得到平面與平面所成銳二面角的余弦值,再得到所求的角;(Ⅲ)線段上存在滿足題意的點,直線與平面法向量的夾角為,設(shè),,利用向量的夾角公式,得到關(guān)于的方程,證明方程無解,從而得到不存在滿足要求的點.

(Ⅰ)證明:因為△是正三角形,

的中點,

所以 .

又因為平面平面,

所以.

,平面

所以.

(Ⅱ)如圖,以點為原點分別以、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.

,,

設(shè)平面的法向量為

所以,即

,則 ,

又平面的法向量,

設(shè)平面與平面所成銳二面角為

所以.

所以平面與平面所成銳二面角為.

(Ⅲ)假設(shè)線段上存在點

使得直線與平面所成角為

即直線與平面法向量所成的角為,

設(shè),,

,

所以

所以,

整理得,

,方程無解,

所以,不存在這樣的點.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某花圃為提高某品種花苗質(zhì)量,開展技術(shù)創(chuàng)新活動,在,實驗地分別用甲、乙方法培訓(xùn)該品種花苗.為觀測其生長情況,分別在實驗地隨機(jī)抽取各50株,對每株進(jìn)行綜合評分,將每株所得的綜合評分制成如圖所示的頻率分布直方圖.記綜合評分為80及以上的花苗為優(yōu)質(zhì)花苗.

(Ⅰ)求圖中的值;

(Ⅱ)用樣本估計總體,以頻率作為概率,若在,兩塊試驗地隨機(jī)抽取3棵花苗,求所抽取的花苗中的優(yōu)質(zhì)花苗數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(Ⅲ)填寫下面的列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)花苗與培育方法有關(guān).

優(yōu)質(zhì)花苗

非優(yōu)質(zhì)花苗

合計

甲培育法

20

乙培育法

10

合計

附:下面的臨界值表僅供參考.

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

<>0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(參考公式:,其中.)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某公司在2019年新研發(fā)了一種設(shè)備,為測試其性能,從設(shè)備生產(chǎn)的流水線上隨機(jī)抽取30件零件作為樣本,測量其重量后,得到下表的相關(guān)數(shù)據(jù).為了評判某臺設(shè)備的性能,從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件,記其重量為,并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評判(表示相應(yīng)事件的概率):①;②;評判規(guī)則為:若同時滿足上述兩個不等式,則設(shè)備等級為;僅滿足其中一個,則等級為;若全部不滿足,則等級為.

經(jīng)計算,樣本的平均值,標(biāo)準(zhǔn)差,以頻率值作為概率的估計值.

重量/

18

19

21

22

23

24

26

28

29

30

件數(shù)/個

1

1

2

2

6

8

5

2

1

2

1)試判斷設(shè)備的性能等級;

2)若的零件認(rèn)為是次品,其余為非次品.設(shè)30個樣本中次品個數(shù)為,現(xiàn)需要從中取出全部次品和2件非次品形成個小樣本,該公司從該小樣本中機(jī)抽取2件零件,求取出的兩件零件中恰有一件是次品的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知

(1)設(shè)的極值點,求實數(shù)的值,并求的單調(diào)區(qū)間:

(2)時,求證:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)記,試判斷函數(shù)的極值點的情況;

2)若有且僅有兩個整數(shù)解,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知拋物線的焦點為,準(zhǔn)線為,上一點,直線與拋物線交于兩點,若,則=

A.B.

C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,矩形和梯形所在平面互相垂直,,,.

1)求證:平面;

2)當(dāng)的長為何值時,直線與平面所成角的大小為45°?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)橢圓的右焦點為,右頂點為.已知,其中為原點, 為橢圓的離心率.

1)求橢圓的方程及離心率的值;

2)設(shè)過點的直線與橢圓交于點不在軸上),垂直于的直線與交于點,與軸交于點.,且,求直線的斜率的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件,測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值,由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖:

(1)求這100件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表);

(2)由直方圖可以認(rèn)為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均數(shù)近似為樣本方差。

(i)若某用戶從該企業(yè)購買了10件這種產(chǎn)品,記表示這10件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于(187.4,225.2)的產(chǎn)品件數(shù),求;

(ii)一天內(nèi)抽取的產(chǎn)品中,若出現(xiàn)了質(zhì)量指標(biāo)值在之外的產(chǎn)品,就認(rèn)為這一天的生產(chǎn)過程中可能出現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查下。下面的莖葉圖是檢驗員在一天內(nèi)抽取的15個產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值,根據(jù)近似值判斷是否需要對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查。

附:,

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