Question

13．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}sin（ωx+\frac{π}{4}）sin（\frac{π}{4}-ωx）+sin2ωx+a（ω＞0）$的圖象與直線y=m（m＞0）相切，并且切點(diǎn)橫坐標(biāo)依次成公差為π的等差數(shù)列，且f（x）的最大值為1．
（1）x∈[0，π]，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，若函數(shù)y=g（x）-m在$[0，\frac{π}{2}]$上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用查三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的最值以及單調(diào)性求得ω和a的值，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)在[0，π]上的增區(qū)間．
（2）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得g（x）的值域，可得m的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}sin（ωx+\frac{π}{4}）sin（\frac{π}{4}-ωx）+sin2ωx+a（ω＞0）$=$\sqrt{3}$sin（2ωx+$\frac{π}{2}$）+sin2ωx+a
=$\sqrt{3}$cos2ωx+sin2ωx+a=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）+a，
它的圖象與直線y=m（m＞0）相切，并且切點(diǎn)橫坐標(biāo)依次成公差為π的等差數(shù)列，故$\frac{2π}{2ω}$=π，ω=1．
再根據(jù)f（x）的最大值為2+a=1，故 a=-1，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-1．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得 kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
可得函數(shù)在[0，π]上的增區(qū)間為[0，$\frac{π}{12}$]、[$\frac{7π}{12}$，π]．
（2）將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]-1=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）-1的圖象，
在$[0，\frac{π}{2}]$上，2x+$\frac{2π}{3}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]，故當(dāng)2x+$\frac{2π}{3}$=$\frac{3π}{2}$時(shí)，函數(shù)g（x）取得最小值為-2-1=-3；
當(dāng)2x+$\frac{2π}{3}$=$\frac{2π}{3}$時(shí)，函數(shù)g（x）取得最大值為$\sqrt{3}$-1．
若函數(shù)y=g（x）-m在$[0，\frac{π}{2}]$上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍為[-3，$\sqrt{3}$-1]．

點(diǎn)評(píng) 本題中主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性、正弦函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，屬于中檔題．