Question

已知函數(shù)f （x）=4sinx•sin²（+）+2cos²x+1+a，x∈R是一個(gè)奇函數(shù)．
（1）求a的值和f （x）的值域；
（2）設(shè)w＞0，若y=f （wx）在區(qū)間[-，]的增函數(shù)，求w的取值范圍；
（3）設(shè)|θ|＜，若對(duì)x取一切實(shí)數(shù)，不等式4+f （x+θ）f （x-θ）＞2f （x）都成立，求θ的取值范圍．

Answer 1

解：化簡(jiǎn)得f（x）=2sinx+a+3
（1）f（-x）=-f（x）?a=-3∴f（x）=2sinx
f（x）∈[-2，2]（4分）
（2）f（wx）=2sinwx（w＞0）
-+2kπ≤wx≤2kπ+k∈Z
-+≤x≤+

?0＜w≤
綜上以上，0＜w≤（8分）
（3）|θ|＜，x∈R時(shí)
4+4sin（x+θ）sin（x-θ）＞4sinx
即sin²x-sinx+1＞sin²θ恒成立
（sin²x-sinx+1）_min=
∴sin²θ＜
-＜sinθ＜θ∈（-，）
∴θ∈（-，）（13分）
分析：首先將函數(shù)化簡(jiǎn)（1）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)求出a的值，然后有正弦函數(shù)求出值域；
（2）寫出函數(shù)f （wx）的式子，然后根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出x的范圍，進(jìn)而根據(jù)區(qū)間[-，]的增函數(shù)，求出w的取值范圍；
（3）首先求出4+f （x+θ）f （x-θ）并化簡(jiǎn)和求出最小值，再利用sin²θ＜，求出結(jié)果．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性以及不等式恒成立問題，對(duì)于不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)最值問題即可．屬于中檔題．