【題目】雙曲線x2﹣ =1(b>0)的左、右焦點分別為F1 , F2 , 直線l過F2且與雙曲線交于A,B兩點.
(1)直線l的傾斜角為 ,△F1AB是等邊三角形,求雙曲線的漸近線方程;
(2)設(shè)b= ,若l的斜率存在,且( ) =0,求l的斜率.
【答案】
(1)
解:雙曲線x2﹣ =1(b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,a=1,c2=1+b2,
直線l過F2且與雙曲線交于A,B兩點,
直線l的傾斜角為 ,△F1AB是等邊三角形,
可得:A(c,b2),可得: ,
3b4=4a2+b2,
即3b4﹣b2﹣4=0,
b>0,解得b2= .
所求雙曲線方程為:x2﹣ =1
(2)
解:b= ,雙曲線x2﹣ =1,可得F1(﹣2,0),F(xiàn)2(2,0).
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線的斜率為:k= ,
直線l的方程為:y=k(x﹣2),
由題意可得: ,消去y可得:(3﹣k2)x2+4k2x﹣4k2﹣3=0,可得x1+x2=﹣ ,
則y1+y2=k(x1+x2﹣4)= .
=(x1+2,y1),
=(x2+2,y2),
( ) =0可得:(x1+x2+4,y1+y2)(x1﹣x2,y1﹣y2)=0,
可得: =k,
,
可得:k2=1,
解得k=±1.
l的斜率為:±1
【解析】(1)利用直線的傾斜角,求出AB,利用三角形是正三角形,求解b,即可得到雙曲線方程.
(2)求出左焦點的坐標(biāo),設(shè)出直線方程,推出A、B坐標(biāo),利用向量的數(shù)量積為0,即可求值直線的斜率.
本題考查雙曲線與直線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,平方差法以及直線與雙曲線方程聯(lián)立求解方法,考查計算能力,轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,幾何體EF-ABCD中,四邊形CDEF是正方形,四邊形ABCD為直角梯形,AB∥CD,AD⊥DC,△ACB是腰長為2的等腰直角三角形,平面CDEF⊥平面ABCD.
(1)求證:BC⊥AF;
(2)求幾何體EF-ABCD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)an=1++=+…+(n∈N*),是否存在一次函數(shù)g(x),使得a1+a2+a3+…+an-1=g(n)(an-1)對n≥2的一切正整數(shù)都成立?并試用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),.
()當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程.
()求函數(shù)單調(diào)區(qū)間和極值點.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若無窮數(shù)列{an}滿足:只要ap=aq(p,q∈N*),必有ap+1=aq+1 , 則稱{an}具有性質(zhì)P.
(1)若{an}具有性質(zhì)P,且a1=1,a2=2,a4=3,a5=2,a6+a7+a8=21,求a3;
(2)若無窮數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,無窮數(shù)列{cn}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,b1=c5=1;b5=c1=81,an=bn+cn , 判斷{an}是否具有性質(zhì)P,并說明理由;
(3)設(shè){bn}是無窮數(shù)列,已知an+1=bn+sinan(n∈N*),求證:“對任意a1 , {an}都具有性質(zhì)P”的充要條件為“{bn}是常數(shù)列”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F、P、Q分別是BC、C1D1、AD1、BD的中點.
(1)求證:PQ∥平面DCC1D1;
(2)求證:AC⊥EF.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】實數(shù)a,b滿足ab>0且a≠b,由a、b、、按一定順序構(gòu)成的數(shù)列( 。
A. 可能是等差數(shù)列,也可能是等比數(shù)列
B. 可能是等差數(shù)列,但不可能是等比數(shù)列
C. 不可能是等差數(shù)列,但可能是等比數(shù)列
D. 不可能是等差數(shù)列,也不可能是等比數(shù)列
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