Question

已知函數(shù)f（x）=2x²-3x+1，，（A≠0）
（1）當(dāng) 0≤x≤時，求y=f（sinx）的最大值；
（2）若對任意的x₁∈[0，3]，總存在x₂∈[0，3]，使f（x₁）=g（x₂）成立，求實數(shù)A的取值范圍；
（3）問a取何值時，方程f（sinx）=a-sinx在[0，2π）上有兩解？

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可得，y=f（sinx）=2sin²x-3sinx+1設(shè)t=sinx，由x可得0≤t≤1，從而可得關(guān)于 t的函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求
（2）依據(jù)題意有f（x₁）的值域是g（x₂）值域的子集，要求 A的取值范圍，可先求f（x₁）值域，然后分①當(dāng)A＞0時，g（x₂）值域②當(dāng)A＜0時，g（x₂）值域，建立關(guān)于 A的不等式可求A
的范圍．
（3）2sin²x-3sinx+1=a-sinx化為2sin²x-2sinx+1=a在[0，2π]上有兩解令t=sinx則2t²-2t+1=a在[-1，1]上解的情況可結(jié)合兩函數(shù)圖象的交點情況討論．
解答：解：（1）y=f（sinx）=2sin²x-3sinx+1設(shè)t=sinx，x，則0≤t≤1
∴
∴當(dāng)t=0時，y_max=1
（2）當(dāng)x₁∈[0，3]∴f（x₁）值域為
當(dāng)x₂∈[0，3]時，則有
①當(dāng)A＞0時，g（x₂）值域為
②當(dāng)A＜0時，g（x₂）值域為
而依據(jù)題意有f（x₁）的值域是g（x₂）值域的子集
則或
∴A≥10或A≤-20
（3）2sin²x-3sinx+1=a-sinx化為2sin²x-2sinx+1=a在[0，2π]上有兩解
換t=sinx則2t²-2t+1=a在[-1，1]上解的情況如下：
①當(dāng)在（-1，1）上只有一個解或相等解，x有兩解（5-a）（1-a）＜0或△=0
∴a∈（1，5）或
②當(dāng)t=-1時，x有惟一解
③當(dāng)t=1時，x有惟一解
故a∈（1，5）或
點評：（1）主要考查了以三角函數(shù)為載體轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題
（2）考查了三角函數(shù)的值域的求解及分類討論思想的應(yīng)用
（3）體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，方程與函數(shù)的思想的應(yīng)用．