Question

20．已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-2x+3．
（1）如果函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，$\frac{2}{3}$），求函數(shù)y=g（x）的圖象在點(diǎn)P（-$\frac{1}{2}$，g（-$\frac{1}{2}$））處的切線方程；
（2）若不等式2f（x）≤g′（x）+3恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)小于0得到不等式的解集，得到相應(yīng)方程的兩個(gè)根，將根代入，求出a的值，得到g（x）的導(dǎo)數(shù)在x=-1的值即曲線的切線斜率，利用點(diǎn)斜式求出切線的方程．
（2）求出不等式，分離出參數(shù)a，構(gòu)造函數(shù)h（x），利用導(dǎo)數(shù)求出h（x）的最大值，令a大于等于最大值，求出a的范圍．

解答 解：（1）g′（x）=3x²+2ax-2，
由題意3x²+2ax-2＜0的解集是：-1＜x＜$\frac{2}{3}$，
即3x²+2ax-1=0的兩根分別是：x=-1，x=$\frac{2}{3}$．
將x=-1或x=$\frac{2}{3}$代入方程3x²+2ax-2=0得a=-$\frac{1}{2}$．
∴g（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+3，
∴g′（x）=3x²-x-2，∴g′（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{3}{4}$，
∴點(diǎn)P（-$\frac{1}{2}$，g（-$\frac{1}{2}$））處的切線斜率k=g′（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{3}{4}$，
∵g（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{15}{4}$，
∴函數(shù)y=g（x）的圖象在點(diǎn)P（-$\frac{1}{2}$，$\frac{15}{4}$）處的切線方程為：
y-$\frac{15}{4}$=-$\frac{3}{4}$（x+$\frac{1}{2}$），即6x+8y-27=0．
（2）∵2f（x）≤g′（x）+3，
即：2xlnx≤3x²+2ax+1對x∈（0，+∞）上恒成立
可得a≥lnx-$\frac{3}{2}$x-$\frac{1}{2x}$對x∈（0，+∞）上恒成立
設(shè)h（x）=lnx-$\frac{3}{2}$x-$\frac{1}{2x}$，則h′（x）=-$\frac{（x-1）（3x+1）}{{2x}^{2}}$，
令h′（x）=0，得x=1，x=-$\frac{1}{3}$（舍）
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＜0
∴當(dāng)x=1時(shí)，h（x）取得最大值-2
∴a≥-2．
∴a的取值范圍是[-2，+∞）．

點(diǎn)評 解決不等式恒成立問題，常用的方法是分離出參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，求出新函數(shù)的最值，得到參數(shù)的范圍．