Question

8．已知a、b是實數(shù)，a≠0，函數(shù)f（x）=ax²+$\frac{x}$（x＞0）．
（1）試就a、b的取值，討論f（x）的零點個數(shù)；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-f（2）在區(qū)間（0，2）內(nèi)有零點，求$\frac{a}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）=ax²+$\frac{x}$（x＞0），分b=0；a＞0，b＞0；a＜0，b＜0；a＞0，b＜0；a＜0，b＞0討論，從而確定零點的個數(shù)；
（2）化簡g（x）=f（x）-f（2）=ax²+$\frac{x}$-（4a+$\frac{2}$）=a（x-2）（x+2）-$\frac{2x}$（x-2）=（x-2）[a（x+2）-$\frac{2x}$]；從而化條件為a（x+2）-$\frac{2x}$=0在（0，2）內(nèi)有解，即$\frac{a}$=2x（x+2）=2（x+1）²-2，從而求$\frac{a}$的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)b=0時，f（x）=ax²在（0，+∞）上沒有零點，
當(dāng)a＞0，b＞0時，f（x）=ax²+$\frac{x}$＞0恒成立，故沒有零點；
當(dāng)a＜0，b＜0時，f（x）=ax²+$\frac{x}$＜0恒成立，故沒有零點；
當(dāng)a＞0，b＜0時，令f（x）=ax²+$\frac{x}$=0得，
ax³=-b，
故x=$\root{3}{-\frac{a}}$，函數(shù)f（x）=ax²+$\frac{x}$有且只有一個零點，
當(dāng)a＜0，b＞0時，令f（x）=ax²+$\frac{x}$=0得，
ax³=-b，
故x=$\root{3}{-\frac{a}}$，函數(shù)f（x）=ax²+$\frac{x}$有且只有一個零點．
綜上所述，當(dāng)b=0或a、b同號時，f（x）沒有零點，
當(dāng)a、b異號時，f（x）有且只有一個零點．
（2）g（x）=f（x）-f（2）=ax²+$\frac{x}$-（4a+$\frac{2}$）
=a（x-2）（x+2）-$\frac{2x}$（x-2）
=（x-2）[a（x+2）-$\frac{2x}$]；
∵函數(shù)g（x）=f（x）-f（2）在區(qū)間（0，2）內(nèi)有零點，
∴a（x+2）-$\frac{2x}$=0在（0，2）內(nèi)有解，
即$\frac{a}$=2x（x+2）=2（x+1）²-2，
∵x∈（0，2），
∴2（x+1）²-2∈（0，16）；
故$\frac{a}$的取值范圍為（0，16）．

點評 本題考查了函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用及函數(shù)零點與方程的根的關(guān)系應(yīng)用，同時考查了分類討論的思想應(yīng)用，屬于中檔題．