Question

9．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$，g（x）=ax+b．
（1）若函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若直線g（x）=ax+b是函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$圖象的切線，求a+b的最小值．

Answer 1

分析 （1）把f（x），g（x）的解析式代入h（x）=f（x）-g（x），求其導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立得到$a≤\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}$對任意的x＞0恒成立，然后利用配方法求得最值得答案；
（2）設(shè)出函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)（x₀，y₀），由直線g（x）=ax+b是函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$圖象的切線，得到$a=\frac{1}{{x}_{0}}+\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}，b=-1-\frac{2}{{x}_{0}}+ln{x}_{0}$，則a+b=$ln{x}_{0}-\frac{1}{{x}_{0}}+\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}-1$，令$\frac{1}{{x}_{0}}$=t＞0換元，再利用導(dǎo)數(shù)求得a+b的最小值為-1．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$，g（x）=ax+b，
∴h（x）=f（x）-g（x）=lnx-$\frac{1}{x}$-ax-b，
由函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，可得${h}^{′}（x）=\frac{1}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}-a≥0$對任意的x＞0恒成立，
即$a≤\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}$對任意的x＞0恒成立，
令$\frac{1}{x}=t∈$（0，+∞），則${t}^{2}+t=（t+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}$，∴t²+t即$\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}$＞0．
∴a≤0．
即實數(shù)a的取值范圍是（-∞，0]；
（2）由f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$，得${f}^{′}（x）=\frac{1}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}$，
設(shè)切點(diǎn)為$（{x}_{0}，ln{x}_{0}-\frac{1}{{x}_{0}}）$，則${f}^{′}（{x}_{0}）=\frac{1}{{x}_{0}}+\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$，
∴函數(shù)f（x）的過切點(diǎn)的切線方程為$y-ln{x}_{0}+\frac{1}{{x}_{0}}=（\frac{1}{{x}_{0}}+\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}）（x-{x}_{0}）$，
整理得：$y=（\frac{1}{{x}_{0}}+\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}）x-1-\frac{2}{{x}_{0}}+ln{x}_{0}$，
∵直線g（x）=ax+b是函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$圖象的切線，
∴$a=\frac{1}{{x}_{0}}+\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}，b=-1-\frac{2}{{x}_{0}}+ln{x}_{0}$，
則a+b=$ln{x}_{0}-\frac{1}{{x}_{0}}+\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}-1$，
令$\frac{1}{{x}_{0}}$=t＞0，則a+b=-lnt-t+t²-1，
令a+b=φ（t）=-lnt+t²-t-1，
則φ′（t）=-$\frac{1}{t}$+2t-1=$\frac{（2t+1）（t-1）}{t}$，
當(dāng)t∈（0，1）時，φ'（t）＜0，φ（t）在（0，1）上單調(diào)遞減；
當(dāng)t∈（1，+∞）時，φ'（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
即有t=1時，φ（t）取得極小值，也為最小值．
則a+b=φ（t）≥φ（1）=-1，
故a+b的最小值為-1．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，求切線的方程和求極值、最值，主要考查構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)區(qū)間求得極值，屬于中高檔題．