Question

已知函數f（x）=．
（1）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性并加以證明；
（2）求f（x）的定義域、值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）由原函數的解析式，我們易求出函數的導函數，令導函數等0，我們易出函數的極值點，將區(qū)間分割后，分別討論各子區(qū)間上導函數的符號，即可判斷函數的單調性；
（2）讓函數的解析式有意義，可以求出函數的定義域；根據（1）的結論，先求出f（x）在（0，+∞）上的值域，再根據函數的奇偶性，易得到f（x）的值域．
解答：解：（1）∵f（x）=．
∴f'（x）=1-．
當x∈（0，1）時，f'（x）＜0恒成立
當x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0恒成立
故函數f（x）在（0，1]單調遞減，在區(qū)間[1，+∞）上的單調遞增；
（2）要使函數的解析式有意義，自變量x須滿足x≠0
故函數的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）
當x∈（0，+∞）時，由（1）知函數有最小值2
又∵函數為奇函數，
∴當x∈（-∞，0）時，函數有最大值2
綜上函數的值域為：（-∞，-2）∪（2，+∞）
點評：本題考查的知識點是函數單調性的判斷與證明，函數的定義域及其求法，函數的值域，利用導數求函數的單調性是導數應用的重要類型，望大家熟練掌握．