Question

對于任意實數(shù)x，符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[-1.5]=-2，[2.5]=2，定義函數(shù){x}=x-[x]，則給出下列四個命題：①函數(shù){x}的定義域是R，值域為[0，1]；②方程{x}=有無數(shù)個解；③函數(shù){x}是周期函數(shù)；④函數(shù){x}是增函數(shù)．其中正確的序號是（ ）
A．①③
B．②④
C．①④
D．②③

Answer 1

【答案】分析：要使解析式有意義，得出函數(shù){x}的定義域為R，由周期函數(shù)的定義證明此函數(shù)為周期函數(shù)，使求出一個周期的上的值域，即為整個函數(shù)的值域，周期函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)．
解答：解：∵函數(shù){x}的定義域為R，又∵{x+1}=（x+1）-[x+1]=x-[x]={x}，
∴函數(shù){x}=x-[x]是周期為1的函數(shù)，∴③是正確的，
當(dāng)0≤x＜1時，{x}=x-[x]=x-0=x，∴函數(shù){x}的值域為[0，1），∴①錯誤，
當(dāng)x=時，{x}=，又∵函數(shù){x}=x-[x]是周期為1的函數(shù)，∴x=+k時（k∈Z），{x}=，∴②是正確的，
∵函數(shù){x}是周期為1的函數(shù)，∴函數(shù){x}不是單調(diào)函數(shù)，∴④錯誤
故選D．
點評：此題是自定義一個函數(shù)，求函數(shù)的性質(zhì)，一般研究函數(shù)從圖象入手，要找出準(zhǔn)確的切入點，x∈R時，[x]∈Z，x-[x]∈[0，1）．