Question

16．如圖是函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）圖象的一部分．
（1）求出A，ω，φ的值；
（2）當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，求不等式f（x-$\frac{π}{6}$）＞f²（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{6}$）-2的解集．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)的圖象求出A，ω，φ，即可確定函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，將不等式進(jìn)行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）由函數(shù)的圖象知A=2，$\frac{T}{4}$=$\frac{π}{3}-\frac{π}{12}$=$\frac{π}{4}$
∴函數(shù)的周期T=π．
即 $\frac{2π}{ω}$=π，解得ω=2，
即f（x））=2sin（2x+φ），
由五點對應(yīng)法得$\frac{π}{12}$×2+φ=$\frac{π}{2}$，解得φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x））=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
即A=2，ω=2，φ=$\frac{π}{3}$．
（2）由f（x-$\frac{π}{6}$）＞f²（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{6}$）-2得2sin2x＞4sin²x-2，
即sin2x+cos2x＞0，即$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）＞0，
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），∴2x+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$），
∴$\frac{π}{4}$＜2x+$\frac{π}{4}$＜π，
解得0＜x＜$\frac{3π}{8}$，
即不等式的解集為（0，$\frac{3π}{8}$）．

點評 本題主要考查三角函數(shù)解析式的求法以及三角不等式的求解，根據(jù)三角函數(shù)的圖象是解決本題的關(guān)鍵，要求熟練掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)．